Гладкая аппроксимация ступеньки

gabuga

Помогите, плз, составить гладкую (C^\infty) функцию, тождественно равную 1 при x<0, и равную 0 x>1

mtk79

1 при x<0, и равную 0 x>1
может, и равную 0 x>0?
Вообще, имеется в виду написать некотрый предел?

gabuga

Например, интересует член последовательности, сходящейся к ф-и Хевисайда. Но интервал, где она не 0 и не 1 конечен (например длины 1)

mtk79

если от 0 до 1 — то ничего проще (лень думать)
f(x):= Const* int_x^1 exp(-(1/2)^2/1/2)^2-(t-1/2)^2dt 0<x<1
Const=1/ int_0^1 exp(-(1/2)^2/1/2)^2-(t-1/2)^2dt
я, правда, не понял, причем тогда Хевисайд, если нужен конечный отрезок "незануления" от 0 до 1

gabuga

спасибо, а я пытался сразу в конечном виде написать

mtk79

к Хевисайду это сходится, если то же написать "в нуле" со схопывающимися пределами
f(x,a):=C*int_{x}^a exp(-a^2/(a^2-t^2dt -a<x<a
C(a)=1/int_{-a}^a exp(-a^2/(a^2-t^2dt
f(x,a) -> 1-Heavy(x) при a->+0

kaban68

Бери свертку ступеньки с гладкой "шапочкой", аппроксимирующей дельта-функцию.

jenyav

Гладкая аппроксимация ступеньки
1 / [1 + expx - eps)/theta)]
тождественно равную 1 при x<0, и равную 0 x>1
eps = 0.5, theta -> 0.

mtk79

Возможно, именно такое и требовалось как иллюстрация распеделения Ферми, но Ваша функция только в пределе \theta -> +0 дает \Heavy(x-1/2 а сама по себе она не локализована на [0,1].
Более того, если вычислять ее значения на краях - то они не 0 и 1.
Для решения такой , более халявной, задачи вообще подойдет любая супергладкая функция распределения при исчезающей дисперсии например 1-ФР нормального распределения
ФР=1/sqrt(2*\pi*sigma^2)*exp(-x^2/2*sigma^2 sigma ->+0
2
В.Степанцов.
* * *
Никто не забыт и ничто не забыто!
И пусть моей жизни исчерпан лимит,
Всё так же люблю я тебя, Аэлита,
Ярчайший цветок среди всех Аэлит.
Порою, с постели вскочив среди ночи,
Я в памяти вновь воскрешаю твой взгляд,
И вновь твои жгучие сладкие очи
О тайнах любви до утра говорят.
Я силюсь обнять твои хрупкие плечи,
Я воздух хватаю дрожащей рукой...
Я старый и нервный - а это не лечат,
Лишь смерть мне подарит желанный покой,
Какими ты тропами нынче гуляешь,
В каких перелесках срываешь цветы?
Наверное, внуков румяных ласкаешь?
Иль в ангельском хоре солируешь ты?
Зачем же ты мучишь меня, марсианка?!
Зачем моё сердце терзаешь опять?
Зачем ты с упорством немецкого танка
Его продолжаешь крушить и ломать?
Зачем твое имя звучит "Аэлита",
Зачем оно сводит поэта с ума?
Никто не забыт и ничто не забыто.
Зима. Аэлита. Россия. Зима.

Ater

А если взять половинку супергауссовой функции с очень большим показателем степени? Или арктангенс?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: