Гильбертовость нормы

soldatiki

При каких условиях норма на векторном пространстве эквивалентна некоторой гильбертовой норме? Т.е. когда в банаховом пространстве можно ввести непрерывное скалярное произведение? Следует ли из этого, что исходная норма сама гильбертова? Верно ли утверждение, если известно, что между пространством и ему сопряжнным существует линейная изометрия (т. е. пространство самосопряжено, что всегда выполняется для гильбертовых пр-в)?

afony

В каких терминах ты ожидаешь ответа на первые два вопроса? Ответ на третий вопрос: Исходная норма не должна быть гильбертовой. В R^n, как известно, вообще все нормы эквивалентны, но не все гильбертовы. На последний вопрос тоже ответ нет, так как пространство (R^2,||.||_1) сопряжено пространству (R^2,||.||_2 где ||x||_1=max{|x_1|,|x_2|}, а ||x||_2=|x_1|+|x_2|, а эти пространства можно перевести друг в друга изометрией.

soldatiki

Я тоже думал про R^2 с нормами из l_1 и l_inf, но тут это только доказывает, что исходная норма может быть не гильбертова, хотя пространство самосопряжено. А верно ли, что в этих (плюс, быть может, еще некоторых) условиях всегда найдется эквивалентная гильбертова норма? В R^2 с метрикой из l_1 это, как мы видим, так.

soldatiki

Ответ на первый вопрос хотелось бы в идеале видеть такой: на каждом банаховом пространстве существует непрерывное скалярное произведение. Или же: вот пример пространства, где не существует непрерывного (по совокупности аргументов) скалярного произведения.

afony

Вот пример пространства, где не существует непрерывного (по совокупности аргументов) скалярного произведения ;) . Рассмотрим пространство ограниченных числовых последовательностей l_inf с супремум-нормой ||.||. Предположим, что в этом пространстве существует эквивалентная ему гильбертова норма ||.||_1. Для этой нормы имеет место тождество параллелограмма ||x+y||_1^2+||x-y||_1^2=2(||x||_1^2+||y||_1^2) для любых векторов x и y. Тогда для любых векторов x и y либо ||x+y||_1^2>=(||x||_1^2+||y||_1^2 либо ||x-y||_1^2>=(||x||_1^2+||y||_1^2).
  Пусть u_k=(0,0,...,0,k^{-1/2},0,0,...) (k^{-1/2} стоит на k-ом месте) при всех натуральных k. Построим по индукции последовательность векторов v_n, сходящихся в ||.|| и расходящихся в ||.||_1. v_0:=(0,0,0,0,...); v_k:=v_{k-1}+u_k, если ||v_{k-1}+u_k||_1^2>=(||v_{k-1}||_1^2+||u_k||_1^2 и v_k:=v_{k-1}-u_k - иначе. Ясно, что v_n сходится в ||.||. С другой стороны, ||v_k||^2>=A*||v_k||_1^2>=A*(||u_1||_1^2+||u_2||_1^2+...+||u_k||_1^2) >=C*(||u_1||^2+||u_2||^2+...+||u_k||^2)= C*(1+1/2+1/3+...+1/k) -> +inf. Приходим к противоречию.

afony

Как я понял твой вопрос, так и ответил. Уверен, что искомый тобой пример, когда норма не эквивалентна гильбертовой, но сопряженное пространство изометрично исходному, построить можно (естественно, в бесконечномерном пространстве но голову ломать над этим не хочется. П. А. Бородин читает в этом году спецкурс по этой теме, если этот вопрос так важен - обратись к нему, он посоветует где посмотреть.

soldatiki

Спасибо за пример. Респект.
Получилось, что пространства типа l_inf (и аналогично L_inf) - существенно не гильбертовы. Остается лишь подумать, какого сорта положительный ответ тут возможен, т. е. привести достаточные условия существования эквивалентной гильбертовой нормы.

lena1978

в счетномерном случае условие ||e_k|| = O(1/(k^2 где e_k - базисные векторы не подойдет?

z-helenium

 На этот счёт есть классическая теорема функционального анализа (см. учебник Колмогорова, Фомина, например):
  Нормированное пространство R является евклидовым тогда и только тогда, когда для любых двух его векторов x и y выполняется:
 ||x + y||² + ||xy||² = 2·(||x||² + ||y||²).
Необходимость очевидна, достаточность также проверяется в лоб для скалярного произведения
 (x, y) = ¼·(||x + y||² – ||xy||²).
 Кроме того, надо помнить, что полное евклидово пространство с ортогональным базисом заданной мощности единственно.

afony

Тут вопрос немного другой. Не "когда норма гильбертова?", а "когда существует эквивалентная ей гильбертова?".

soldatiki

Кроме того, надо помнить, что полное евклидово пространство с базисом Гамеля заданной мощности единственно.
Э-э-э... А мне казалось, что на бесконечномерном пространстве можно ввести много неэквивалентных друг другу евклидовых норм. Или "большинство" таких норм будут давать неполное пространство? Точнее, пополнение будет иметь большую мощность?

lena1978

единственно с точностью до изоморфизма. остается вспомнить, что такое изоморфизм гильбертовых пространств :ooo:

soldatiki

единственно с точностью до изоморфизма. остается вспомнить, что такое изоморфизм гильбертовых пространств
Не, ну ясно, что пространства с разными гильбертовыми нормами могут быть изоморфны, но тут вопрос стоит о различных и неэквивалентных гильбертовых нормах на одном пространстве.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: