Три задачки решить за сок или пиво по ТЧ (по у.е. за задачу)

tofel

elektronik

Первая задача, вобщем-то, решается просто. Нужно, например, показать расходимость вещественной части ряда.
Скажем возьмём условие cos (t ln n) > 1/2 ( - \pi /3t + 2 \pi k / t < ln n < \pi / 3t + 2 \pi k / t, причём этот интервал всё больше и больше -- его длина увеличивается в exp (2 \pi / t) раз; возьмём n1 и n2 так, чтобы они лежали в этом интервале). Тогда,
\sum_{n=n1}^{n2} 1/n \leq \sum_{n=n1}{n2} 1/[n cos(t ln n)] \leq 2 \sum_{n=n1}{n2}
Далее несложно догадаться, что в силу расходимости гармонического ряда и критерия Коши, наш ряд (точнее его вещественная часть, а, значит, и сам ряд) будет расходиться.
Вторую сделать теперь несложно, если воспользоваться тем, что φ(n) ведёт себя как n...
То есть при больших n оценивается как (1 - ε) n < φ(n) < (1 + ε) n.

mikele00

по третей задачи здорово было бы полуить ценные указания

elserg2

в условии второй задачи очепятка - в знаменателе φ(n)*n стоит вместо φ(n)

fjodnik1

вторую он сказал по критерию коши.
разность частичных сумм оценивать.

ddeev

\phi(n) = n \prod_{p \leq n, p - prime}(1 - 1/p)
\sigma(n) = n \prod_{p \leq n, p - prime}(1 + 1/p)
Отсюда сразу имеем \phi(n)*\sigma(n) < n^2
Неравенство в другую сторону получается, если учесть, что
\prod_{p \leq n, p - prime}(1 - 1/p^2) > \prod_{p - prime}(1 - 1/p^2)
(в последнем выражении берется произведение по всем простым числам)
В то же время \prod_{p - prime}(1 - 1/p^2) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(k)/k^2 = 6/\pi^2

leka-60

ктонть может расшифровать что написано в последнем посте?
А то чё-то как-то не понятен язык на котором это написано

ddeev

Я немного напутал в определении функций, но суть решения от того не меняется. Произведения надо брать не по простым <= n, а по простым, делящим n.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: