Предел последовательности

wawa321

Подскажите, чему равен такой предел. Думал, думал, ничего не придумал.

mtk79

он равен [math]$\sqrt{1+\sqrt{2+... \sqrt{\infty}}}$[/math]

wawa321

[math]$\sqrt{\infty}$[/math] - филолух чтоле?

Jusun

А где тут предел?

wawa321

[math]$a_1=1, a_2=\sqrt{1+\sqrt{2}}, a_3=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}}}, \ldots, a_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\ldots+\sqrt{n}}}}$[/math] - хз как написать в техе, но в последнем выражении n корней над n.
Интересует предел [math]$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$[/math]

blackout

Десятитысячный член равен 1.75793... , как и все, начиная с восьмого. Так что скорее всего предел есть :)

wawa321

Численно легко считается :) Также легко можно доказать что предел существует, найти границы, но мне интересно аналитическое выражение. В школе была задача где под корнями всегда 1, там получается [math]$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}=(1+\sqrt{5})/2$[/math].

blackout

Также легко можно доказать что предел существует
Как доказать, что она ограничена, я знаю. А что она монотонна? Или как ты доказываешь, что предел существует?. Ну да, это же очевидно

wawa321

[math]$a_{n+1}>a_{n}$[/math] и простое ограничение сверху [math] $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\ldots}}}}$[/math]

blackout

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=194945
Точного ответа там нет, просто обсуждение.

roza200611

не факт что это число не трансцендентно... так что явной аналитической формулы можно и не найти.
а вообще ботай в сторону работ Рамануджана - он очень полюблял такие ряды.
на вскидку тока такую формулу у него нашел - попробуй может потбереш нужные коэффициенты
http://upload.wikimedia.org/math/a/1/9/a19d923c2000e59b2fe48...
http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

Sergey79

Десятитысячный член равен 1.75793... , как и все, начиная с восьмого. Так что скорее всего предел есть
тогда в пределах погрешности это [math]$\sqrt\pi$[/math]

blackout

Нет, даже корень 17-й степени из 14622 больше подходит. Но это не он.

Sergey79

Нет, даже корень 17-й степени из 14622 больше подходит.
это выражение не имеет явного физического смысла

blackout

А корень из Pi какой смысл имеет? Впрочем не важно, он все равно не совпадает с этим пределом уже во втором знаке после запятой.

Sergey79

Впрочем не важно, он все равно не совпадает с этим пределом уже во втором знаке после запятой.
это все равно великолепная точность в отсутствие другой точной теории.
А корень из Pi какой смысл имеет?

это лишь означает что в твоей последовательности самый первый корень лишний.

Polyphem

тут это число называют тау (и даже вводят тау(n. Однако, я не смог больше нигде найти упоминания про это тау

wawa321

Должен быть какой-то более-менее элементарный метод решения. У нас эта задача в школе была, со звёздочкой. Я вовремя не спросил как она решается, а потом поезд ушел, так вот и не смог решить, и осталась для меня загадка. Здесь наверняка есть сильные математики, кто бы мог её щелкнуть.

maoam

http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html
No closed-form expression is known for this constant

Sergey79

а задачи у вас не было со звездочкой?

wawa321

были частные случаи, которые вполне элементарно решаются

roza200611

а ты не путаешь с похожим рядом? например,
http://upload.wikimedia.org/math/5/8/c/58cac01b45469ca3af9c4...

wawa321

за давностью лет может и путаю :confused:
а как такой вариант считается?

Xephon

Это число ещё 100 лет назад рассматривалось Эдвардом Каснером.
Вот здесь есть статья Хершфельда, которая посвящена данному вопросу:
http://pballew.net/1935Herschfeld.pdf
Кажется, про это число всё же неизвестно — алгебраическое оно или нет.

roza200611

круть! спасибо, буду ботать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: