Куда сходится последовательность x_n=norm(А(x_{n-1}))

Kirill_off

берём вектор(x_1,...,x_n применяем к нему оператор, потом нормируем.
напрмер, нормированные собственные вектора на месте остаются.
а с другими что? какой раздел разведует этот вопрос? что-то у меня в памяти не осталось

margo11

напрмер, нормированные собственные вектора на месте остаются.
а собственные вектора для оператора A^2, не являющиеся собственными для A, будут "повторяться" с периодом 2.
то же для A^n - период n.
Если же вектор не является собственным ни для какой степени оператора A, то последовательность, начавшаяся с него, никогда не "зациклится".
Вроде так.

Kirill_off

собственных векторов A, даже А_n почти нет(мера такого множества 0 интересно, как себя ведут остальные.
они сходятся к самому большому? или к ближнему или почти никогда не сходятся..

margo11

а пространство совсем произвольное или все-таки какое-то конкретное?

Kirill_off

ах, да. про пространство забыл.
Rn имелов ввиду.
вопрос просто возник из чмов.

z-helenium

 > они сходятся к самому большому?
Да.

Kirill_off

почему? хотя бы идейно

ну или где про это почитать можно?

z-helenium

 Разложим исходный вектор по базису собственных. Слагаемое, соответствующее максимальному по модулю собственному значению, после применения оператора будет давать максимальный по модулю вклад. Вклад остальных слагаемых после нормировки будет стремиться к нулю.

Kirill_off

спасибо

seregaohota

Если максимальное собственное значение единственно и нет комплексно-сопряжённых собственных значений.
А то как в операторе поворота на угол \phi никуда не сходится.

margo11

Тут видимо много всяких "если". Еще предполагается, что существует базис из собственных векторов. Это верно только для некоторого класса операторов (вроде у которых матрица симметрическая). Плюс еще даже если базис существует и максимальное собственное значение единственно, бывают вектора, у которых в разложении по базису собственных координата при максимальном равна нулю.

seregaohota

Плюс еще даже если базис существует и максимальное собственное значение единственно, бывают вектора, у которых в разложении по базису собственных координата при максимальном равна нулю.
В ЧМах это не критично. Всегда есть ошибки округления и рано или поздно вылезет ненулевая координата по собственному вектору. Другое дело, что скорость сходимости этого процесса как у геометрической прогрессии с отношением максимального собственного значения и следующего по модулю. В общем как обычно, зависит от класса исходных операторов, на котором алгоритм должен давать приличные результаты за приличное время. Нет ни одного универсального инструмента, и топором конечно можно шурупы завинчивать, но неудобно. А молотком ещё хуже.
В тяжёлых случаях есть литература по ЧМам, собственные числа, особенно максимальные изъезжены вдоль и поперёк.. Если это одноразовое действо, то может проще подождать пару часов пока компьютер посчитает, чем с другим методом разбираться. При большом размере матрицы которые вылезают из всяких сеточных методов медленная сходимость может наблюдаться, вывести на экран что-нибудь можно, чтобы видеть что не зависло (только это обычно процесс замедляет). Мы же как пить дать не знаем заранее как там собственные числа себя ведут.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: