Кривая через вершины выпуклой ломаной

ETrohkina

что существует выпуклая гладкая кривая проходящая через вершины выпуклой ломаной (ABCDE)?
т.е. что выпуклую ломаную можно описать выпуклой гладкой кривой?
выпуклая ломаная не спиральная, т.е. такая, что многоуг-к ABCDE является выпуклым.

kachokslava

сплайн по ней построить - второго порядка например - он не будет выпуклым?

svetik5623190

Я думаю, что лучше всего "скруглить углы" То есть в качестве этой самой кривой взять кривую, совпадающую с ломаной всюду, кроме малых окрестностей мест излома.
А в этих окрестностях - гладкая выпуклая дуга, касающаяся двух отрезков с нужной степенью гладкости.

ETrohkina

во, спасибо. то что нужно.
что получил:
описываю свою ломанную ещё одной. а в полученные треугольники вписываю окружности.
гладкая готова. спасибо!

svetik5623190

Наздоровье
А зачем это было нужно доказать?

NHGKU2

Полученная кривая получится непрерывно-дифференцируемой, т.е. класса C^1, и нестрого выпуклой.
Возникли вопросы.
А как эту ломаную описать _строго_ выпуклой кривой класса C^k (k>=1)? Сплайны помогут? Можно ли придумать что-нибудь попроще?
И еще: существует ли бесконечно-дифференцирумая _строго_ выпуклая кривая, описанная вокруг этой ломаной? Если да, то как доказать?
P.S. Вопросы не праздные.

vit-makovey

Я думаю, что лучше всего "скруглить углы" То есть в качестве этой самой кривой взять кривую, совпадающую с ломаной всюду, кроме малых окрестностей мест излома
задача была что бы кривая проходила через вершины ломаной, у тебя просто по построению не будет никогда проходить.

vit-makovey

И еще: существует ли бесконечно-дифференцирумая _строго_ выпуклая кривая, описанная вокруг этой ломаной? Если да, то как доказать?
Мне кажется это очевидно. Построение - да почти что идейно совпадает с построением гладкой функции равной нулю на одном отрезке и единице на другом.
Если это используется, как промежуточный результат, в какой-то работе - смело пиши, что очевидно.
Если мне не доверяешь - спроси у своего научного руководителя или любого человека с мехмата, кому доверяешь - все скажут что это сверхочевидно.
Вообще, уверен, что многочлен можно найти выпуклый, проходящий через вершины этой ломаной, но это сходу непонятно как сделать.

NHGKU2

Если это используется, как промежуточный результат, в какой-то работе - смело пиши, что очевидно.
В одной работе есть похожий промежуточный результат, но он дает лишь кривую гладкости C^1, причем по построению там ясно, что большей гладкости таким методом не получить.
Мне тоже это было бы очевидно, наверное, если бы не требование _строгой_ выпуклости кривой.

svetik5623190

задача была что бы кривая проходила через вершины ломаной, у тебя просто по построению не будет никогда проходить.
не у меня, а у него не я предложил решение с окружностями.
Скруглить так, чтобы проходило так, как надо - можно.

svetik5623190

все скажут что это сверхочевидно
бывает, что на очевидности можно очень здорово нарваться... Если действительно вопрос для статьи, советую всё-таки найти строгое доказательство, чтоб быть уверенным в том. что твои доказательства не содержать дыр.
Я щас пойду курить и подумаю, может - придумаю.

svetik5623190

Немного покурил я и кое-какие мысли меня посетили. Я накидаю идей, а вы там потом сами разбирайтесь, что из этого окажется плодотворным.
1. Что такое выпуклая ломаная? Я так понимаю, что это такая ломаная, которую если замкнуть, то она ограничивает выпуклую фигуру. Выпуклая фигура - та, которая содержит вместе с двумя своими точками и отрезок между ними. В частности, если любую точку внутри фигуру взять за точку отсчёта, то уравнение границы (т.е. нашей ломаной) однозначно пишется в полярных координатах.
2. Можно вывести условие на выпуклость через производные подобно тому, как это делалось для обычных координат (у" знакопостоянна только в полярных формулы, наверное, посложнее будут
3. Гипотеза. Пусть Ер(фи) - уравнение ломаной. Тогда Ер1(фи)= Ер(фи) + эпсилон будет строго выпуклой (фактически, мы прибавляем к ломаной окружность эпсилон больше нуля. Правда, при таком маневре изломы лоианых сойдут со своих мест, но зато все на одну и ту же величину. Может, замена координат после прибавления поможет справиться с этим без потери благоприобретённой строгой выпуклости?
4. Доказывать существование искомой кривой следует по индукции по числу изломов, опираясь на (требующую доказательства) лемму о том, что можно скруглить 1 излом так, что кривая будет проходить через точку излома, иметь нужную гладкость и лежать сколь угодно близко к ломаной в метрике С_n.
5.А потом применять (сначала доказав) гипотезу.
Если разберётесь, что из этого бред, а что нет - напишите, пожалуйста
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: