функан: помогите решить задачи

quentin2002

помогите пожалуйста решить такие задачи, сам уже не успеваю разобраться
1.[math][res=150]$\text{Пусть}\,  A\in\sigma(H A\geqslant 0\,\,\text{и}\,  A\,\,  \text{непрерывно обратим, доказать, что}\,A^{-1}\geqslant 0 $[/math].
2.[math][res=150]$ \text{Доказать, что в пространстве}\,\, l^n\,\, \text{линейное отображение}\,\, A: l^n\rightarrow l^n\,\, \text{с матрицей}\,\, \| a_{ij}\| (i,j,\dots,n) \,\,\text{будет сжимажщим, если}$[/math] [math][res=150]$$ \max_{1\leqslant j\leqslant n}  \sum_{i=1}^n |a_{ij}<1|  $$[/math].
(Треногин, Писаревский "Задачи и упражнения по ф...", 18.30 и 24.14)

quentin2002

Поправка во второй задаче: [math][res=150]$$\max_{1\leqslant j\leqslant n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|<1$$[/math]

Irenas

Задача один.
Пусть [math][res=100]$A^{-1}$[/math] не является отрицательным и [math][res=100]$x_0$[/math]: [math][res=100]$(A^{-1}x_0,x_0)<0$[/math]. Пусть [math][res=100]$y=A^{-1}x_0$[/math],
тогда [math][res=100]$x_0=Ay$[/math]. Ну, и получается, что [math][res=100]$(Ay,y)=(y,Ay)<0$[/math].
Противоречие. Вроде бы, так.
Сам остался в сомнениях: непрерывная обратимость и спектральность (верно понял первое условие?) остались не окучены.
upd. Нашел книгу здесь. Таки-там не [math][res=100]$A\in\sigma$[/math], а [math][res=100]$\in\delta$[/math] — самосопряженный в гильбертовом пространстве.

Irenas

Не понял, какая норма в [math][res=100]$l^n$[/math]. Вот для корня из суммы квадратов координат.
Надо сравнить [math][res=100]$\sum\limits_{i=1}^{n} |x_i-y_i|^2$[/math] и [math][res=100]$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} |a_{ij}x_j-a_{ij}y_j|^2=\sum\limits_{j=1}^{n}(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_{ij}|^2) |x_j-y_j|^2$[/math]
Ну, тут в общем ни мало не сомневаясь, вводим [math][res=100]$q:=\max\limits_{1\leqslant j\leqslant n}\sum\limits_{i=1}^{n}|a_{ij}|^2$[/math]. [math][res=100]$q<1$[/math] :)

quentin2002

спасибо, помогло :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: