вопрос про алгебраические множества

chepa02

если алгебраическое множество делит пространство на несвязные области, значит ли это что его коразмерность 1 ?
если его коразмерность 1, значит ли что оно задается главным идеалом, то есть по сути одним уравнением?

goga7152

если его коразмерность 1, значит ли что оно задается главным идеалом, то есть по сути одним уравнением?

В аффинном пространстве вроде верно (и связано с факториальностью алгебры многочленов). Если же рассматривать общий случай, то нет (идеалы прямолинейных образующих квадратичного конуса xy=z^2 не являются главными — см. например Винберг "Курс алгебры", стр. 405 (изд. 2001 г.
если алгебраическое множество делит пространство на несвязные области, значит ли это что его коразмерность 1 ?
В вещественном случае вроде кажется очевидным (а в комплексном дополнение и к коразмерности 1 связно).

chepa02

В аффинном пространстве вроде верно (и связано с факториальностью алгебры многочленов).
судя по винбергу тут ещё условие алгебраической замкнутости поля существенно, да?
В вещественном случае вроде кажется очевидным (а в комплексном дополнение и к коразмерности 1 связно).
эх, а тут у меня неприводимости нет, а там же могут быть компоненты другой размерности в любом количестве :(

goga7152

судя по винбергу тут ещё условие алгебраической замкнутости поля существенно, да?
Честно говоря, не могу ответить на этот вопрос. С одной стороны, в факториальном кольце любой минимальный простой идеал является главным (см. задачу в Винберге на стр. 406) (а кольца многочленов над произвольными полями факториальны). С другой стороны, сходу мне непонятно, почему в случае алгебраически незамкнутого поля (когда не работает теорема Гильберта о нулях и нет биекции между простыми идеалами и неприводимыми алгебраическими подмногообразиями) неприводимому подмногообразию коразмерности 1 отвечает _минимальный_ простой идеал. Так что, может быть, это условие и существенно (в стандартных курсах алгебраической геометрии обычно рассматривают случай "произвольного алгебраически замкнутого поля" :) ).
P.S. По поводу замкнутого поля может более подходящая ссылка Шафаревич, "Основы алгебраической геометрии", т.1, гл. 1, параграф 6, теорема 3 (стр. 90 в издании 1988 года).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: