Ограниченность решения дифура

Brina

Есть уравнение

x(0) = 1, dx(0)/dt = 0, f(t) — некоторая положительная монотонно убавающая функция, например, f(t) = a exp(-bt интересно посмотреть для разных. Понятное дело, что получить аналитическое решение для общего случая нельзя (для f(t) = a exp(-bt у меня не получилось, хотя я попросил об этом матлаб, причем слезно). Физические соображения, численные решения и аналитика при f = const подсказывают мне, что решение может либо убывать к нулю, либо возрастать неограниченно, либо сначала возрастать, а потом убывать (последний вариант при f = const не случается, случай f = 1 зело неинтересен и нефизичен).
Встает вопрос, нельзя ли найти условия, при которых величина 1/x (ну, или 1/x^2) ограничена? Иначе говоря, хочу найти условия, чтоб величина x ни при каком t не становилась нулевой, а была все время положительной.
Да, все величины в уравнении действительные.
Заранее спасибо.

Brina

Или еще можно поискать условия, при которых dx/dt обратится в ноль. Это будет минимум х...

lenmas

хотя я попросил об этом матлаб
Лучше попроси мапле. Лучше его я пока не видел решателя дифуров.

Brina

Попрошу сегодня или завтра. Только это мне не сильно поможет — найду я функцию с аналитикой, а мне их много надо...

sashok01

Иначе говоря, хочу найти условия, чтоб величина x ни при каком t не становилась нулевой, а была все время положительной
вроде бы x не может обращаьтся в ноль. иначе сама правая часть дифура становится неопределенной.

Brina

Может, только после этого решать нельзя. Так с константой отрицательной получается. Причем это имеет ясный физический смысл...

kroton45

Ну, если f>1 и x'(0)<0, то решение до 0 таки дойдет, поскольку пока x>0, оно выпукло вверх и, значит, не вылезет из-под касательной к иксу в нуле...

Brina

Блин, я это и имел в виду, только лопухнулся. Забыл, то у меня 1 - f (а не f все это назвал отрицательной константой.

kroton45

А вот при f = c < 1, кажется, до нуля не дойдет.
В самом деле, вводим переменную y, и пишем:
[math]$x' = y; y' = (1-c)/x^3$[/math]
Далее, [math]$dy/dx = (1-c)/(x^3y)$[/math], разделим переменные и получим [math]$y^2 = -(1-c)/x^2 + A$[/math].
Так что y, то бишь x', обратится в 0 раньше, чем x дойдет до нуля.
Кажется, что под убывающую f все не так сложно модифицировать...
Другой вопрос в том, обратится ли когда-нибудь y в 0 за конечное время. Там еще что-то писать надо...

Brina

А вот при f = c < 1, кажется, до нуля не дойдет.
Да, да, да. Ты полностью прав. Я там неправильно написал.
Кажется, что под убывающую f все не так сложно модифицировать...

Пока у меня аналитически не получилось.
Интересен случай, когда f сначала больше 1, а потом меньше...

Brina

Че, математики, ни у кого никаких идей?..

lenmas

Пока у меня аналитически не получилось.
Что там мапл выдает?
Кстати, поинтегрируй численно для твоего случая экспоненты.

Brina

Не может и мэпл. А численно мы и так со студентом интегрируем, результаты знаем. Только это уравнение и так в жестких приближениях получено, его численно нехорошо окучивать. Получено оно из нелинейного уравнения Шредингера, которое мы вполне умеем нормально численно считать. Хотелось именно аналитики...

lenmas

Не может и мэпл.
И для f(t)=a*exp(-bt)?

Brina

Я не особый знаток мэпла. Может быть, ты попробуешь? Например, для a = 2, b = 1 или 2. Заранее спасибо.

lenmas

Ok, завтра на работе погоняю.

Brina

Спасибо. Мобить, статью потом совместную напишем...

lenmas

Мобить, статью потом совместную напишем...
Не, я уже старый для статей :grin: Мне с работой своей разобраться, какая там наука! ;)

Brina

Ну, дело твое, но статья не повредит...

lenmas

Да, мапл плохо относится к нелинейным уравнениям. Надо думать. Может, еще с численным интегрированием в матлабе натолкнет на какую мысль.

Brina

Натолкнуло на одну. Пока в этом направлении работаем... Хотя решение уже будет выглядеть "надрочено", я боюсь...

lenmas

Даже при f(t)=2*exp(-b*t) уже ответ нетривиальный :)
Где-то около b=0.5 (чуть меньше) "иголка" утыкается в нуль :crazy:

lenmas

Вроде бы индукцией по времени можно доказать, что при b1>b2 решение x1(t) будет лежать выше решения x2(t
по крайней мере на общем промежутке, где и 1-2*exp(-b1*t и 1-2*exp(-b2*t) отрицательны. Отсюда будет следовать,
что уменьшая b, мы придем к минимальному такому b. Из матлаба видно, что b меньше 0,495, но больше 0,49.
Точное значение непонятно.

Brina

Мы со студентом получили похожие результаты. Много крутили их, возможно кое-что нащупали, сейчас бумажки нет под рукой, где мы все написали, как доберусь до нее, изложу наши соображения. Вдруг тебе мысль какая в голову придет...

lenmas

Мы со студентом получили похожие результаты. Много крутили их, возможно кое-что нащупали, сейчас бумажки нет под рукой, где мы все написали, как доберусь до нее, изложу наши соображения. Вдруг тебе мысль какая в голову придет...
Ok, будет интересно узнать. Тоже попробую что-нибудь додумать. Задача нетривиальная, но занятная :)

lenmas

Возникает такой способ решения задачи в случае, когда f(t)->0 при t-> ∞. Берем достаточно большое b>0, чтобы
для решения твоего диффура при f(bt) вместо f(t) все было нормально (решаем в матлабе, например, по Рунге-Кутта
с достат мелким шагом, например h=0.01, до достаточно большого времени, например, до T=10). Потом уменьшаем b до тех пор, пока не утыкаемся в расходимость разностной схемы. Способ достаточно общий. Например, для f(t)=2/(t+1) получаем b_min ≈ 0.669, так что для исходной функции условие выполняется.
Аналитического условия как-то не получается у меня.

Brina

Ты все правильно пишешь, мы не совсем так строго сделали, но очень наподобие. Проблема в следующем. Эта задача сформулирована для студента, она в определенном смысле для введения в тему. Связано это с тем, что парень еще не знает уравнений в частных производных. Мы в рамках определенных приближений из уравнения в частных производных получилили обыкновенное. Вроде как эти приближения вменяемы с физической точки зрения. Если мы численно построим "карту" условий исходя из этого уравнения, то первый же рецензент спросит нас, почему вы не сделали этого, исходя из УРЧП. Определенный прикол, что я примерно (ну, не совсем, но близкое) это уже сделал численно из УРЧП, даже опубликовал. Там же в работе получена некая аппроксимация для условия схлопывания в ноль, но без какого-то физического смысла (или с самым пальцевым что, конечно, не айс. Для меня (не студента) задача сводилась как раз к наполнению физическим смыслом полученных условий — исходя из аналитического, или полуаналитического, или на 1% аналитического решения. Кроме того, аналитические соображения часто подсказывают дальнейшие пути исследований, уже чисто численных, так сказать, другой взгляд. Моя детская непосредственность давала надежду, что аналитика получится (я почему-то верил, что задача сведется к уравнению первого порядка, тогда отыскать экстремум — нет проблем, а вона как вышло).
Без какой-то полуанатилики решение этой задачи так и останется для студента введением в тематику, а это грустно, хотелось бы статью налабать, писанина статьи и для студня полезна. Конечно, статью то сможем налабать, но примут ли ее?.. И куда примут?..

Brina

Возникает такой способ решения задачи в случае, когда f(t)->0 при t-> ∞.
Собственно мы исследуем именно такие функции. Причем даже монотонно убывающие.
Я попросил у студента принести записи, сегодня запосчу, положение экстремума в зависимости от параметров функции f(t)=a exp(-t/h). Нашли численно, но аппроксимация хорошая, кажется.

Brina

Аппроксимируя результаты моделирования мы показали, что
t_max = p + m h ln a + q h^2 ln^2 a,
где t_max — положение минимума x (в условиях, когда не x не уходит в ноль f(t) = a exp (-t/h p < 0, m > 0, q < 0. Теперь думаем, что нам с этим всем делать.

lenmas

я почему-то верил, что задача сведется к уравнению первого порядка, тогда отыскать экстремум — нет проблем, а вона как вышло
Да, тоже перепробовал кучу способов, но задача замыкается опять на себя. Не получается понижение порядка,
по крайней мере у меня.

Irina_Afanaseva

Есть уравнение
Для этого уравнения Ньютона полезно написать гамильтонову форму и чиркануть фазовый портрет.
$$H(t,q,p)=(p^2/2)+(1-f(t/(2q^2 q=x$$
Так что если физический смысл иметь в виду, и предлагаемые к рассмотрению в роли f(t) экспоненты, стремящиеся к нулю на больших временах, то в переменных (p,1/q) имеем в пределе большого времени гармонический осциллятор, (1/x(t ограниченна.
Тогда 1/x(t) не избежит нуля. Значит, q(t)=x(t) неограниченна.

Brina

Вот и я печалюсь... Не получается свести к первому порядку. И с зависимостью от параметров все плохо...

Brina

Прикольная тема! Попробую.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: