Задача по геометрии

Diossa

найти стороны треугольника по 3 биссектрисам
можно без использования формулы длины ьиссектрисы и составлением системы?

Sanych

На mccme.ru есть по этому поводу вот такой материал, показывающий, что на простой ответ надеяться вряд ли стоит:

В. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?
О. Доказательство невозможности этого построения опубликовано в книге:
Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия. М.: Физматлит, 1963, с. 205-227 (статья Ю.И.Манина). Приводим ее в отсканированном виде (jpeg-файлы, соответствующие страницам):
[0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|14|15|16|17|18|19|20|21]
Не исключено, что математики и ранее задавались вопросом о возможности построения треугольника по трем биссектрисам и получали ответ на этот вопрос: уже в начале XX века общий принцип доказательства невозможности различных построений с помощью циркуля и линейки был хорошо понят, и доказательство невозможности очередного построения не могло быть предметом спора о приоритете.
Автор статьи в "Энциклопедии" (выдающийся современный математик) в этом месте ни на кого не ссылается. Возможно, он придумал доказательство самостоятельно в процессе написания статьи.
По поводу того, как можно доказывать невозможность геометрических построений, и, в частности, о задачах на построение, связанных с кубическими уравнениями (к которым относится и задача о построении треугольника по трем биссектрисам можно, помимо упомянутой статьи в "Энциклопедии элементарной математики", прочитать в книге Р.Куранта и Г.Роббинса "Что такое математика". Эта книга издавалась в СССР в 1947 и 1962 годах; в 2001 году вышли еще два русских издания.
Просмотрю, скажу точнее.
В книжке говорят про уравнение 16й степени в общем случае и кубический многочлен для равнобедренного треугольника...:
и

Xephon

Впервые это доказал то ли французский, то ли бельгийский математик в 19-ом веке.

vit-makovey

бегло попробовал.. обозначил неизвестными 2 полу-угла. Выражая тремя способами радиус вписанной окружности получим два уравнения на две неизвестных. Выразив одну неизвестную получим уравнение 4 степени. К сожалению не биквадратное.
Первой степени в том уравнении нет. После нормировки на старший коэффициент остаются три переменных коэффициента, независимые, гладко зависящие от трех параметров. Это дает основания считать, что воспользоваться геометрическим происхождением уравнения не удастся и любое решение неизбежно пройдет через уравнение 4 степени.
Способ решения таких уравнений можно найти во многих местах.
Не знаю насколько устроило такое решение, но вышеприведенный аргумент говорит о том что уравнения 4 степени не избежать.
Если это все же не так - интересно посмотреть решение.

Diossa

надо просто найти длины трех сторон треугольника, а не построить его циркулем и линейкой

z731a

а что за формула длины биссектрисы?

Zoltan

>надо просто найти длины трех сторон треугольника, а не построить его циркулем и линейкой
гы

WYRASUK

надо просто найти длины трех сторон треугольника, а не построить его циркулем и линейкой

+1гы)

ARTi

выражающая длину бисектрисы через длины сторон, видимо

NHGKU2

А что "гы"? Разделить произвольный угол \alpha на три части циркулем и линейкой нельзя, но величину его третьей части я могу написать без проблем: \alpha / 3.
Может, все-таки, поясните, что вызывает у вас такую странную реакцию?

NHGKU2

а что за формула длины биссектрисы?
Вот эта, наверное:

fatality

насколько я помню, Ткачук предлагает абитурам решить ее школьными методами (речь там действительно идет не о построении, а о вычислении сторон по биссектрисам возможность этого вызывает сомнения.
 
если все же не так - интересно посмотреть решение

+1

Diossa

&Pernatiy
почему гы?

vit-makovey

надо просто найти длины трех сторон треугольника, а не построить его циркулем и линейкой
где в моем решении ты увидел элементы построения?

vit-makovey

прошу у всех прощения, кто прочитал мое решение. Сейчас, взглянув снова, обнаружил глупую ошибку. Вместо биссектрис рассматривал длины отрезков биссектрис от вершин треугольника до точки пересечения.

WYRASUK

надо просто найти длины трех сторон треугольника, а не построить его циркулем и линейкой

действительно каждый восьмиклассник решит ТАКОЙ треугольник
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: