Олимпиадная задачка про числа

Julia080682

   Господа, возможно, вам будет интересно просто задуматься над задачкой (она забавная и интересная! а ещё хотела бы сравнить уровни олимпиадной математики (у меня самой такого опыта практически нет).
   На пражской школьной олимпиаде как самая простая для четырнадцатилетних ребят позиционировалась следующая задача. Даны два ненулевых неравных числа, с ними проводятся четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Два числа из результирующих четырёх одинаковы. Требуется найти исходные числа.
   Как вам она нравится? :) Многих чехов озадачило то, что она считается для этого возраста простой. Как вы оцениваете её уровень?

ramka

2*2=4
2+2=4
2/2=1
2-2=0
Это что ли имеется ввиду?
Я если что выпускник ФФ,
решение заняло около 20 секунд.
На мой взгляд, действительно
простовато.

iri3955

> Как вы оцениваете её уровень?
Примерно, как уровень такой задачи.
От дома Пети до школы 5 км, от дома Ани до школы 7 км, какое расстояние от дома Пети до дома Ани?
1. 2 км
2. 4 км
3. 6 км
4. 9 км
-----------
upd
5. 12 км

iri3955

А может, они имели ввиду 4 и 4/3?

Sergey79

может, перевод не совсем правильный. Если подставить "все возможные", то действительно самая простая "утешительная" задачка для 8-классников

Logon

Это что ли имеется ввиду?
Еще числа 0 и 1 можно рассматривать, главное, на этот ноль не делить
ЗЫ. Числа 1 и 1 тоже подходят

iri3955

Я бы сказал x и 1

Logon

x и 1
Ну да

Vlad128

Ну как бэ тут довольно просто все. Надо для каждой пары операций O1 и O2 посмотреть решения уравнения a O1 b = a O2 b, дальше подумать, исключить лишнее.
И так.
1) a + b = a - b => b = -b, не годится, потому что на ноль не выйдет делить. Причем это условие запоминаем и его никогда больше не пишем, сумма с разностью никогда не совпадают.
2) a + b = ab a(b-1) = b, a = b/(b-1)
Теперь надо записать уравнения (неравенства)
b/(b-1) /b != b/(b-1) + b
и на неравенство суммы и разности (см.выше, писать не надо).
1/(b-1) != b/(b-1) + b
1 != b + b(b-1)
b^2 != 1
b != 0, b != 1, b!= -1, a = b/(b-1 все такие пары.
3) a - b = ab a(1-b) = b, a = b/(1-b)
Аналогично:
b/(1-b) / b != b/(1-b) - b
1/(1-b) != b/(1-b) - b
1 != b + b(1-b)
b^2 + 1 ! =0
ну тут тоже ясно, что решений нет (под числами подразумеваем уж действительные, пускай так).
Опять в ответ:
b != 0, b!=1, a = b/(1-b)
4) ab=a/b => b = 1/b => b = +-1, a+1 != a, a-1 != a, a * +-1 = a/+-1, для любого a.
Т.е. в ответ пары (a,+-1 a!=0
5) a + b = a/ b
... лень ...
6) a - b = a/b
... лень ...
А я вообще олимпиадные задачки решать не умею. Отсюда вывод: да, халявная задача.

vsjshnikova

   На пражской школьной олимпиаде как самая простая для четырнадцатилетних ребят позиционировалась следующая задача. Даны два ненулевых числа, с ними проводятся четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Два числа из результирующих четырёх одинаковы. Требуется найти исходные числа.
Если числа целые, то простая задача, ИМХО уровень не разучившихся думать 6-7классников. Ответ (2,2) или (x,1) или еще (x,-1) и (-2, 2) если допускаются отрицательные.

Vlad128

не хватает варианта 12 км :umnik:

iri3955

Точно, когда писал последний, почему-то решил, что там 7 и 2

mtk79

[math]$a=\frac{2}{\sqrt{2}-1}, b=\sqrt{2}$[/math]

fhfoihjkjhgjy

Быть может, особенность задачи в том, что есть 2 правильных ответа, а школьники дают только число "2" в качестве решения:
2 числа - это числа 1 и 2, поскольку:
2*2 = 4 = 2 + 2
1/1 = 1 = 1*1
Upd: если имелись в виду не только натуральные числа, то решений будет поболее
1/2 + 1/2 = 1 = 1/2 / 1/2
Поточнее условие сформулируй, пожалуйста :)

Vlad128

И еще надо ответ 1км, чтобы был хотя бы один неправильный вариант.

Sergey79

Я бы сказал x и 1
разве ж там сказано, что всегда первое число делят на второе? Твое решение использует дополнительное условие, не указанное в оригинальной задаче.

Vlad128

Там сказано, что проводятся четыре операции, т.е. за один раз нельзя сравнивать a / b и b / a, а то, что они могут меняться местами учитывается, когда выписываются все ответы.

Vlad128

Upd: если имелись в виду не только натуральные числа, то решений будет поболее
почитай мой пост :grin: Даже так там все очень просто, надо только писанину развести. А срезания путей и обобщения ради написать поменьше — это уже не для школьников задача :)

fhfoihjkjhgjy

Меня уж больно условие задачи смущает.
Если числа разные, то решение вида (+-1, -+х) - не очень красивое, на мой взгляд.
Поэтому предположил, что числа одинаковые, а также попросил уточнить задачу (целые или любые).
А ты все верно написал :)

mtk79

Мне кажется задачка утешительная в прямом смысле: ну реши хоть что-нибудь. Думаю, оценивать ее в зачет олимпиады не будут вовсе за бессмысленностию ея.

lenmas

с ними проводятся четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление
Жалко, что еще нету возведения в степень :grin:

Julia080682

   Потому как раз спрашиваю. :) Меня несколько удивило, что в Праге школьники и родители на уровень задач "обиделись". Интересно было, "обижаются" ли на Родине. Опыта, позволяющего это рассудить, лично у меня нету. Я не преподавала, не проводила для школьников образовательные мероприятия.
Хотя не секрет, здесь обеспокоены падением уровня школьников в последнее время...

Sergey79

Там сказано, что проводятся четыре операции, т.е. за один раз нельзя сравнивать a / b и b / a, а то, что они могут меняться местами учитывается, когда выписываются все ответы.
не совсем понял.
Вот моя интерпретация:
Дано: ящик (сумматор-вычитатель-умножатель-делитель в который суют два ненулевых числа, крутят ручку, и из ящика выскакивают четыре числа.
Требуется: запихнуть такие два числа, чтобы выскочили два одинаковых числа, иначе сразу же отрубят голову.
Я бы постремался пихать туда 1 и х, если х не 1.

Vlad128

Кстати, мое решение не учитывает возможный вариант, когда там две пары одинаковых чисел. Такие тоже надо как-то выкинуть. Может быть в этом трудность? Возможно получится доказать, что такого не бывает. Ну кстати, вот это интересный момент!

fhfoihjkjhgjy

Видимо, предполагается ответить, что пары (х, 1 (-х, 1) (х, -1) и (-х, -1) являются решением с вероятностью 50% :grin:

Vlad128

Вообще, условие сформулировано мутно:
1) надо ли описывать все возможные решения (ну тут скорее всего да)
2) целые / любые: в случае целых чисел упрощается (даже на глаз, должно делиться нацело, чтобы с делением что-нибудь сошлось)
3) подходит ли вариант с двумя парами одинаковых результатов?
Вообще, я изменил свое мнение, если постановка как я пытался решить (1) все 2) любые 3) не подходит то не очевидно, как подходить к перебору, занимает время, а решение жюри может быть довольно хитрым, я видел такие задачи, существующее простое решение еще ни о чем не говорит, за крутые решения на олимпиадах еще доп. призы дают, mainline может быть довольно геморным.

Vlad128

не так это как раз обычная постановка, один раз попросишь кого-нибудь «запихнуть», посмотришь, что с его головой случится, дальше можно не стрематься.

Vlad128

или ты про операцию «бешеное деление» 8 / 4 = скорее всего 2, но может быть и 1/2 ?

Sergey79

почему? може там рандомайзер в делителе.

Sergey79

да

Vlad128

бред же :grin:
Не по существу.

Sergey79

просто приятно, что "у них" тоже составляют задачки с некорректными условиями. Ведь ну правда, что такое результат операции деления над двумя числами, представимый одним числом?

Vlad128

имхо все корректно: сам выбирай, как тебе хочется один из вариантов (переусложнения никому не нужны а дальше ответы будут совпадать с точностью до транспозиции.

Vlad128

Ну и причем выбирать такой что /(x,y) = y/x тоже как-то не сказать, чтобы предпочтительно. Хотя придраться можно, конечно.

kochurova71

Даны два ненулевых неравных числа, с ними проводятся четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Два числа из результирующих четырёх одинаковы. Требуется найти исходные числа.
   Как вам она нравится? Многих чехов озадачило то, что она считается для этого возраста простой. Как вы оцениваете её уровень?
1 и -1 подходят. полное исследование задачи (проверку всех возможных вариантов совпадений и соответсвенно поиск всех решений) не делал.
задача забавная, но интересной она мне не показалась. впрочем, если вдруг 1 и -1 --- не единственная пара разрешающих задачу чисел, то беру свои слова обратно.
моя оценка уровня: 1. найти хоть одно решение --- адекватная задача для человека, владеющего действиями арифметики (3 класс, т.е. 10 лет?..)
2. провести полный анализ (найти все пары чисел или доказать, что 1,-1 --- единственная) --- адекватная задача для человека, имеющуего опыт в решении линейных систем уравнений (8-9 класс, т.е. 14-16 лет?)

kochurova71

что-то участники треда забыли, мне кажется, что числа по условию должны быть неравными
решение 2, -2 мне не кажется корректным (вероятно, автор этого решения хотел сказать, что 2/-2 = -2/2 поскольку в задаче указано
Даны два ненулевых неравных числа, с ними проводятся четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Два числа из результирующих четырёх одинаковы

т.е. равны два из четырёх чисел x+у, х-у, ху, х/у, а не два из шести чисел x+у, х-у, у-х, ху, х/у, у/х.

vsjshnikova

решение 2, -2 мне не кажется корректным (вероятно, автор этого решения хотел сказать, что 2/-2 = -2/2
А решения (2,-2) вроде никто не предлагал. Вот (-2,2) подходит: (-2)-2 = (-2)*2

kochurova71

[math]$ a= \frac{2}{\sqrt{2}-1},  b= \sqrt{2}$ [/math]
a-b = a/b, браво! :D

Vlad128

А что браво, типа решил уравнение? Или тут какой-то неуловимый юмор, например, из значков, использованных в ответе, можно сложить слово «жопа»?

kochurova71

(-2,2) подходит: (-2)-2 = (-2)*2
конечно, сорри.
я протупил, сказав
(вероятно, автор этого решения хотел сказать, что 2/-2 = -2/2)

kochurova71

А что браво, типа решил уравнение?
ну да

Enery

Судя по тому, что до сих пор никто не опубликовал ответ, задача не слишком примитивна.

Vlad128

наоборот, слишком примитивна, чтобы доводить до ответа.

Logon

слишком примитивна
да как бы найденный пример с парой (-2;2) показывает, что количество вариантов решений слека поболее, чем в начале описывали.
Вообщем, мне было бы интересно узнать полный ответ.

Vlad128

Да прочитай уже мой пост, там еще серии подходящих чисел приведено до полного ответа не хватает разбора еще двух случаев, полностью аналогичных, они могут добавить еще две серии ответов. Только лучше-то чем от этого будет?

Enery

  Примитивные задачи на раз в уме решаются. А тут даже пару натуральных чисел 4 и 2 никто не написал почему-то. Только Х и 1, но это не ответ. Ответ оба решения.
внимательнее надо быть, сорри

Vlad128

Ну ладно, убедил, для тебя тяжелая задача.

Badyss

эта задача некорректно сформулирована (а возможно просто некорректно переведена)
на эту тему мне очень нравится задачка: даны два числа, найдите их если сумма, произведение и частное одинаковы.
решается в уме естественно, но на мой взгляд забавно.

Kraft1

Паралимпиадная задачка лол

a101

Да прочитай уже мой пост, там еще серии подходящих чисел приведено до полного ответа не хватает разбора еще двух случаев, полностью аналогичных, они могут добавить еще две серии ответов. Только лучше-то чем от этого будет?
Примитивные задачи на раз в уме решаются. А тут даже пару натуральных чисел 4 и 2 никто не написал почему-то. Только Х и 1, но это не ответ. Ответ оба решения.
Ну итого выходит если в действительных числах, то 3 серии:
(x, +-1)
(+-x/(x-1 x)
(+-x^2/(x-1 x)
Убирая равные пары и всякие случаи типо x = 0 и x = 1.
Пара (4, 2) это как раз третья серия.
Если решать в целых числах, то остается первая серия + (2, -2) + (+-4, 2). Больше нет ибо НОД(x, x-1) = 1. Соответственно в натуральных это (x, 1) + (4, 2).
Ну лень было модератору еще 1 минуту тратить на то, чтобы остальное дописать. Но это не значит, что тут есть над чем думать. Для городской олимпиады нормально.

shale60

ну, у нас на городской классе в 9 первая задача попроще была.
Эта наверное уровня второй :)

blackout

Примитивные задачи на раз в уме решаются.
Найди произведение 38748377489598384787483948029238423263 и 238782939028302843728682398273209.

Oleg4534

операции из 4 не обладают коммутативностью К.О.

nozanin

Как вам она нравится?
Хочется её сделать!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: