Вопрос отцам функана

vlmaxxxx

Есть в функане такая лемма, лемма о почти перпендикуляре. Вопрос такой,
привести пример пространств (желательно с объяснением) в которых epsilon не
может быть равен 0.
Напомню условия леммы:
У нас есть пространство M и в нём замкнутое подпространство L. Тогда для
любого epsilon>0 найдётся вектор x: ||x||=1, p(x, L)>1-epsilon.

Понятно, что фишка тут в том, что L - замкнуто, но не обязательно полно.

avgustinka

> Понятно, что фишка тут в том, что L - замкнуто, но не обязательно полно.
Ты хочешь сказать, что в банаховых M для любого (замкнутого) его подпространства всегда найдётся точный перпендикуляр? ИМХО, гон...

afony

Рассмотрим пространство l_1={a=(a_1, a_2,..., a_n,...) : ||a||=\sum_n |a_n|<\infty} и его замкнутое подпространство l:={b=(b_1, b_2,..., b_n, ...) : \sum_n (n/(n+1*b_n=0}. Пусть ||a||=1. Покажем, что существует вектор b из l такой, что ||a-b||<1. Нетрудно показать, что существуют такие натуральные m и n, что m>n и либо a_n>a_m\ge 0, либо a_n<a_m\le 0. Пусть, для определенности, a_n>a_m\ge 0. Возьмем b таким, что b_n=a_n, b_m=-(m+1)*n/(m*(n+1a_n, b_k=0 для k\ne n,m. Тогда b\in l, а ||a-b||=||a||-a_n-a_m+(a_m+(m+1)*n/(m*(n+1a_n)=1-(1-(m+1)*n/(m*(n+1a_n<1. Что и требовалось.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: