Посчитать ковариацию.

Polyphem

Можно ли по-простому посчитать ковариацию?
[math]$cov(X, e^{Y})$[/math],
где [math]$X - N(\mu, \sigma^{2}_x Y - N(\nu, \sigma^{2}_y)$[/math]
[math]$corr(X, Y) = r$[/math]

forester_200

А совместная плотность распределения [math]$p_{X, Y}(x, y)$[/math] не задана?

Polyphem

Мне удалось обойти подсчет данной ковариации в той задаче, которую решал я,
но интересно было бы решить эту задачу как самостоятельную.
To Another:
- пусть будет совместное распределение нормальным. Интегралы хочешь брать?

forester_200

To Another:
- пусть будет совместное распределение нормальным. Интегралы хочешь брать?
Ага. Один - двойной, второй - просто однократный, оба ясно как брать (см. ниже).

forester_200

Искомая ковариация [math]$cov(X, e^Y)=M(Xe^Y)-M(X)M(e^Y)$[/math]
Но [math]$M(e^Y)=e^{\nu + \frac{\sigma_y^2}{2}}$[/math] , поэтому
[math]$cov(X, e^Y)=M(Xe^Y) - \mu e^{\nu + \frac{\sigma_y^2}{2}}$[/math]
Осталось вычислить [math]$M(Xe^Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xe^yp_{X,Y}(x,y)dy$[/math]
Если считать, что совместное распределение нормальное, то выражение [math]$p_{X,Y}(x,y)$[/math] имеет вид [math]$Ae^{Bx^2+Cx+Dy^2+Ey+Fxy+G}$[/math].
Единственная проблема - избавиться от слагаемого с произведением [math]$xy$[/math] (чтобы перейти к интегралам от выражений, представляющихся в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от своей переменной, и потом от двойных интегралов перейти к повторным однократным а это делается путём перехода к новым переменным [math]$(u,v)$[/math] :
[math]$x=a_{11}u+a_{12}v, y=a_{21}u+a_{22}v$[/math]
Не пойдёт? Нужно что-то более изящное?

Polyphem

Спасибо огромное за то, что пытаешься помочь.
Я пробовал решать так, как ты, то есть беря интегралы, но не получилось.
Либо я что-то недопонимаю, но смотри, ты говоришь
Единственная проблема - избавиться от слагаемого с произведением [math]$xy$[/math]
но ведь на самом деле там стоит [math]$e^{y}P_{X,Y}(x,y)$[/math], поэтому появляются слагаемые вида [math]$x^2y, xy^2, xy$[/math], поэтому линейная замена тут, как мне кажется, не проходит.

lenmas

но ведь на самом деле там стоит [math]$e^{y}P_{X,Y}(x,y)$[/math], поэтому появляются слагаемые вида [math]$x^2y, xy^2, xy$[/math], поэтому линейная замена тут, как мне кажется, не проходит.
Откуда там появляются все эти слагаемые? :confused:

Polyphem

Блин, сорри, я ступил.

forester_200

После поворота системы координат
[math]$x=au+bv$[/math]
[math]$y=-bu+av$[/math]
где [math]$a=cos \varphi$[/math] , а [math]$b= sin \varphi$[/math],
под двойным интегралом вместо [math]$xe^ye^{Bx^2+Cx+Dy^2+Ey+Fxy+G}dy$[/math] (считаем, что множителель [math]$A$[/math] вынесен за знак интеграла) получаем выражение вида:
[math]$(au+bv)e^{-bu+av}e^{B'u^2+C'u+D'v^2+E'v+G'}|J(u,v)|dudv$[/math]
Якобиан поворота = 1. Раскрываем скобки:
[math]$$aue^{-bu+av}e^{B'u^2+C'u+D'v^2+E'v+G'}+bve^{-bu+av}e^{B'u^2+C'u+D'v^2+E'v+G'}=$$[/math]
[math]$$=aue^{-bu}e^{av}e^{B'u^2+C'u}e^{D'v^2+E'v+G'}+bve^{-bu}e^{av}e^{B'u^2+C'u}e^{D'v^2+E'v+G'}=$$[/math]
[math]$$=aue^{-bu}e^{B'u^2+C'u}\cdot e^{av}e^{D'v^2+E'v+G'}+be^{-bu}e^{B'u^2+C'u}\cdot ve^{av}e^{D'v^2+E'v+G'}$$[/math]
Получаем сумму двух интегралов, под каждым из которых стоит [math]$f_1(u)f_2(v)dudv$[/math], от которых можно переходить к произведению однократных.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: