[ТеорВер] Распределение минимума

wendy8

Как можно найти распределение min(X_1,...,X_n если известно
совместное распределение X_1,...,X_n, причём оно нормальное (и известное )?
Или это из области фантастики?
"Найти" = найти плотность или ф-цию распределения. Желательно аналитически (через всякие там Ф(x)... )

undertaker

это легко, если X_1,...,X_n - независимы
P(min(X_1,...,X_n)<=x)=1-P(min(X_1,..., X_n)>x)=1-P(X_1>x and X_2>x and ... and X_n>x)={независимость}=1-P(X_1>x)*P(X_2>x)*...*P(X_n>x)=1-F1(x)*F2(x)*...*Fn(x) , где Fi(x) - функция распределение X_i.
Но тут, похоже, интересует более общий случай, когда X_1... X_n могут быть зависимыми (т.е. ковариационная матрица совместного нормального распределения не диагольна) Надо подумать, как быть...

vit-makovey

Для двух величин P( min(a,b)<x) = P ( a< x) + P(b<x) - P( a<x, b<x)
получается формулой включения- исключения. Все величины справа известны, так как совместное распределение известно. Для n величин пишешь аналогичное равенство, используя формулу включения-исключения для n.Как видно, тот факт, что совместное распределение нормально, нигде не используется.

wendy8

Это, конечно, замечательно, но как найти это:
P( a<x, b<x)
Если знать, как это искать, то можно проще:
P(min(X_i) < a) = 1 - P( все X_i > a) - и вперёд.
Только вот я не пойму, как находить такую вероятность иначе как методом Монте-Карло
Там интеграл какой-то невразумительный получается (

vit-makovey

Это, конечно, замечательно, но как найти это:
P( a<x, b<x)
может я что-то не так понимаю, но это по определению есть:
если известно
совместное распределение X_1,...,X_n
то есть искать его не нужно - оно же просто напросто известно.

wendy8

то есть искать его не нужно - оно же просто напросто известно.
Да, оно известно. Но оно известно в виде плотности (а конкретно, нормальной плотности).
И перейти от одного к другому у меня не получается, что-то
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: