Сколько триодов можно разместить на плоскости?

Ysts

назовем триодом точку вместе с выходящими из нее 3 лучами.
размещением триода на плоскости назовем непрерывное инъективное отображение триода в плоскость.
сколько триодов можно разместить на плоскости без пересечений?

blackout

Сколько угодно.

Ysts

имеется в виду мощность множества триодов, естественно

Ysts

континуум можно, например?

Dosperato

континуум нельзя, очевидно.
стандартная задача. Решается тоже стандартно, внутри выпуклой оболочки твоего триода есть точка с рациональными коориданами.
Вообще во время сессии много школьных задач появляется в этом разделе, нечему удивляться.

Dosperato

ну вообще, если решать не то, что имелось в виду, а то, что написано в первом посте, то вообще только один можно разместить.

chepa02

поясни

Dosperato

А, да, я наврал =)
И лучи представил прямыми после отображения, и углы между ними слишком большими :(

Dosperato

А, да и решение у меня не очень хорошее, нужна другая рациональная точка.
Можно так: каждому размещению триода можно поставить в соответствие треугольник с рациональными координатами вершин такой, что вершина триода лежит внутри него и каждый из образов лучей пересекает одну сторону этого треугольника. При этом условии одному треугольнику не может соответствовать два образа триода. А треугльников не более, чем счетное число. Вот, а в прошлом решении какая-то пурга, не знаю, о чем даже и думал.

Ysts

континуум нельзя, очевидно.
извините, го мне совсем не очевидно. не могли бы вы пояснить

Ysts

стандартная задача. Решается тоже стандартно, внутри выпуклой оболочки твоего триода есть точка с рациональными коориданами.
мне совсем не понятно как вы выберете непересекающиеся выпуклые оболочки

Ysts

ну вообще, если решать не то, что имелось в виду, а то, что написано в первом посте, то вообще только один можно разместить.
не забывайте, что луч можно непрерывно отобразить в отрезок

Ysts

ПОПРАВКА:
диод-точка с 3 выходящими из нее ОТРЕЗКАМИ

Dosperato

Да дочитай уже до конца тред :)

Ysts

на предыдущие мои посты можно не обращать внимания

Ysts

Да дочитай уже до конца тред
:o

stm7886047

Как я понимаю, выяснили, что счётное можно. А дальше? - Уже доказали, что не более чем счётное?
Может, кто помнит, как строится континуальное множество нулевой меры? На отрезке, например.

afony

Как раз недавно наткнулся на теорему Мура (доказана в 1928 г.) о том, что и более сложные триоды (три жордановы дуги, исходящие из одной точки) помещаются на плоскости без пересечений не более чем в счетном количестве. Если кому интересно, дам ссылку на статью.

Dosperato

чего ты хочешь? тут уже все выяснили, если кто не знает про канторову лестницу — обратно, на второй курс.

Dosperato

хотя за задачами о размещении всяких фигурок на плоскости вообще в школу надо...

Ysts

каждому размещению триода можно поставить в соответствие треугольник с рациональными координатами вершин такой, что вершина триода лежит внутри него и каждый из образов лучей пересекает одну сторону этого треугольника
ты сначала вот это строго докажи и не забывай, что отображение непрерывное, а не гладкое или кусочно-линейное

Dosperato

Я? сам доказывай, идеи с тебя достаточно.

Vadim46

сам доказывай, идеи с тебя достаточно
решил теорему ферма тчк переносим все в левую часть тчк подробности при встрече

paulcartman

решил теорему ферма тчк переносим все в левую часть тчк подробности при встрече
:) :) :)

svetik5623190

Может, кто помнит, как строится континуальное множество нулевой меры? На отрезке, например.
жесть, господа :( гугланите по запросу "троичное множество Кантора"
кстати, если выкидывать поумнее, то можно получить множество типа Кантора положительной меры, а если такие множества потом объединить, то можно построить на отрезке нигде не плотное тощее множество полной меры
update: поправлена ошибка: нигде не плотное ----> тощее

v1160908

нигде не плотное множество полной меры
что-то попахивает неправдой

svetik5623190

скорее попахивает тем, что ты не знаешь, как такое множество построить ;)
такого рода контрпримерчики возможны потому, что сигма-алгеьра и топология --- это по существу разные системы множеств. "всюду плотно" --- топологическое понятие, "полной меры" --- понятие из теории меры.

v1160908

Но ведь если множество не плотно хотя бы в одной точке, то это уж подразумевает наличие отрезка, в котором нет ни одного элемента множества?

svetik5623190

множество не плотно хотя бы в одной точке
нет такого понятия :)
множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания пуста
говорят, что множество А плотно в множестве В, если В --- подмножество замыкания А
почти очевидно, что для метрической топологии множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно не плотно ни в каком шаре, т.е. его замыкание не содержит никакого шара.

svetik5623190

вот ещё забавная задачка: не используя континуум-гипотезу, доказать, что если множество на прямой имеет положительную меру Лебега, то мощность этого множества --- континуум.
подсказка: сюрьективно отобразить множество на некоторый отрезок (не скажу какой, иначе неинтересно решать будет потом применить теорему Кантора-Шрёдера-Бернштейна

v1160908

множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания пуста
а, ну с таким определением может быть
(наверно, я забыл определения уже -)

svetik5623190

(наверно, я забыл определения уже -)
Юзерфрендли написанный конспект по общей топологии для тех, кто забыл определения :) http://ivanremizov.com/general_topology_version2.11.pdf
Спокойной ночи, я спать :)

v1160908

вот ещё забавная задачка: не используя континуум-гипотезу, доказать, что если множество на прямой имеет положительную меру Лебега, то мощность этого множества --- континуум.
Решение.
Такое множество является надмножеством счётного объединения замкнутых с такой же мерой (известная теорема из функана).
Выберем из этих множеств то, которое меры не 0, оно будет континуально (что замкнутое множество либо не более, чем счётно, либо континуально - это известный баян, а что счётное имеет меру 0 - тем более).
Ура! Решил! :D

Ysts

Как раз недавно наткнулся на теорему Мура (доказана в 1928 г.) о том, что и более сложные триоды (три жордановы дуги, исходящие из одной точки) помещаются на плоскости без пересечений не более чем в счетном количестве. Если кому интересно, дам ссылку на статью.
ну, дай :D

svetik5623190

апд: малость поправил неточности, ночь уже, сорри :( я спать.

Жесть, да и только. Мехмат-стайл в негативном проявлении. (шапкобояно-закидательский подход)
Решение.
Такое множество является надмножеством счётного объединения замкнутых с такой же мерой (известная теорема из функана).
Я, закончивший кафедру функана, аспирант на кафедре функана --- я не знаю такой теоремы! :) Это --- точно не "известная теорема". Если используешь такие утверждения, надо либо приводить доказательство, либо ссылку на страницу и номер строчки в ПОПУЛЯРНОМ учебнике.
замкнутое множество либо не более, чем счётно, либо континуально - это известный баян
любопытно, как бы ты доказал это без континуум-гипотезы? ;) "без КГ" --- ключевой момент в задаче.
 
Ура!

согласен
 
Решил!
не согласен

v1160908

Мехмат-стайл в негативном проявлении.
Согласен, но я не мехматянин :)
Я, закончивший кафедру функана, аспирант на кафедре функана --- я не знаю такой теоремы! Это --- точно не "известная теорема". Если используешь такие утверждения, надо либо приводить доказательство, либо ссылку на страницу и номер строчки в ПОПУЛЯРНОМ учебнике.
Ну была же теорема про эф-сигма и же-дельта или как-то там. Но для нашей задачи на самом деле достаточно существования замкнутого подмножества ненулевой меры. Или, иными словами, открытого надмножества дополнения меры<1 (для простоты считаем, что всё на [0;1]). А это уже из того, что внешняя мера < 1, следует.
любопытно, как бы ты доказал это без континуум-гипотезы? "без КГ" --- ключевой момент в задаче.
Ну стандартный подход такой. Сначала от противного доказывается, что если множество на отрезке несчётно, то существует натуральное N, такое, что если разбить его на N равных отрезков, то найдётся как минимум ДВЕ, пересечение которых с исходным множеством несчётно.
Потом к каждой части применяется то же самое и т.д.
Отсюда вытекает способ сопоставления 0-1 последовательностям элементов множеств: берём первый элемент п-ти a1, выбираем отрезок с таким номером из первого разбиения, потом отрезок с номером a2 из разбиения уже этого отрезка и т.д., предел центров будет нужным элементом (нужно только решить проблему с 0111111... и 100000... ).

assasin

кстати, если выкидывать поумнее, то можно получить множество типа Кантора положительной меры, а если такие множества потом объединить, то можно построить на отрезке нигде не плотное множество полной меры
Не нигде не плотное, а тощее. Как уже было сказано, нигде не плотным оно не могёт быть, поскольку иначе его дополнение бы содержало некий интервал и при этом имело нулевую меру.

Dosperato

лучше бы определение дал нигде не плотного множества. Потому что эту задачу уже встречал именно в такой постановке в каком-то задачнике.

avgustinka

замыкание имеет пустую внутренность

v1160908



множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания пуста
а, ну с таким определением может быть
(наверно, я забыл определения уже -)
да, как правильно заметил , с таким определением тоже не может :)

lena1978

а тощее - это что? счетное объединение нигде не плотных?

afony

Решил, что проще саму статью залить.
[image] [/image]

assasin

а тощее - это что? счетное объединение нигде не плотных?
Да.

svetik5623190

кстати, если выкидывать поумнее, то можно получить множество типа Кантора положительной меры, а если такие множества потом объединить, то можно построить на отрезке нигде не плотное множество полной меры
-----------------
Не нигде не плотное, а тощее. Как уже было сказано, нигде не плотным оно не могёт быть, поскольку иначе его дополнение бы содержало некий интервал и при этом имело нулевую меру.
Да, верно, я ошибся. Время позднее, усталый был :( В самом деле, пусть построено нигде не плотное множество полной меры на отрезке. Тогда его замыкание есть замкнутое множество, не совпадающее с отрезком, поэтому дополнение замыкания есть открытое множество, в силу своей непустоты содержащее открытый интервал. Этот интервал имеет положительную меру и не пересекается с замыканием нашего множества, а тем более и с самим нашим множеством, поэтому наше множество не может иметь полную меру.
Кстати, тощие множества называют ещё иногда множествами первой категории. Множества второй категории --- те, которые не первой категории. Именно поэтому теорему Бэра о том, что полное метрическое пространство не может быть представлено в виде счётного объединения нигде не плотных множеств, иногда называют "теоремой Бэра о категориях": согласно теореме Бэра, полное метрическое пространство есть множество второй категории.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: