оценить отношение многочленов от двух переменных

sashok01

Есть функция f(i,j аргументами которой являются натуральные числа i,j. Она представляется в виде отношения многочленов 2й и 4й степени:

коэффициенты p,q,r,s вещественны и неотрицательны.
1) Можно ли выделить как-нибудь асимптоту этого отношения при стремлении i,j к бесконечности (по аналогии со случаем многочленов от одной переменной)? Т.е. можно ли получить что-то вроде (или что-то другое) независимо от того, как именно стремиться к бесконечности?
2) Как найти такое наименьшее k, что при всех i,j, больших некоторого заданного N?
Если эти задачи достаточно хорошо изучены в литературе, просьба дать на неё ссылку
И самое сложный момент, немного связанный с предыдущими:
3) Как аналитически найти или оценить сверху (но достаточно близко к точному значению) остаточную сумму двойного ряда

?
У меня получалось находить с помощью wolframalpha сумму , она, как говорит вольфрам, выражается через дигамма-функцию. А вот просуммировать результат по i не получилось.

sashok01

По первому вопросу придумалось следующее
возьмём i=kt, j=t и устремим t к бесконечности. При этом .
Поделим многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени и выбросим остаток, получим . Тогда этой функции ставим с соответствие , это и будет искомой асимптотой.
Вопрос - всё ли верно? можно так делать?

Xephon

Что ты называешь асимптотой в случае функции двух переменных?
Ты рассматриваешь удаление по заданному лучу с угловым направлением k.
При стремлении t к бесконечности функция на этом луче стремится к 0, и этот 0 будет "асимптотой".
Ты с какого факультета вообще? Откуда такая задача?

sashok01

я вообще не знаю, существует ли обобщения понятия асимптоты на случай, когда функции или многочлены зависят от более чем одной переменной.
Конечная цель - оценить сверху как можно ближе остаточную сумму двойного ряда, составленного из таких значений.
Я с мехмата, но с двойными рядами работал мало, и про дигамма-функцию, через которую выражается сумма простого ряда, слышу впервые. С такими штуками могли сталкиваться на других кафедрах (теория чисел? Математический анализ?). Сам я с механики.

Xephon

То есть изначально у тебя есть ряд
\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} 1/(i^3 j + c i^2 j^2 + d ij^3)
и тебе нужно оценить для него кусок
\sum_{i=N+1}^{\infty} \sum_{j=N+1}^{\infty} 1/(i^3 j + c i^2 j^2 + d ij^3)
Так?
Напиши, контекст, откуда это всё. Может быть, ты не туда копаешь.

iri3955

Если коэффициенты, например, знаменателя окажутся неэллиптичными, то это отношение вдоль асимптот может вообще идти от -\infty до +\infty.
Если же элиптичны, тогда к 0, но вести себя это может сложнее, чем обратная коника, если оси не совпадают.
Upd. Не, у тебя же там квадраты в знаменателе...

sashok01

да, всё верно.
Откуда взялось - у меня получилось решение одной задачи, выраженное в виде двойного тригонометрического ряда:

Коэффициенты этого ряда получились такие:

Я хочу оценить абсолютную ошибку от усечения такого двойного ряда до N по i и до N по j. Коэффициенты исходного ряда оцениваются сверху, синусы и косинусы заменяются на единицы:
|a_{ij}| <= f(i,j)/(ij)
f(i,j) - рациональная функция из первого поста. Я смог оценить эту функцию сверху как K/(i^2 + j^2). Теперь вместо того, чтобы считать хвост двойного ряда, составленного из f(i,j)/(ij) , я вместо этого считаю хвост двойного ряда, составленного из K/(i^3j + ij^3). В результате удалось получить верхнюю оценку абсолютной погрешности, выражающуюся в виде простых рядов от N+1 до бесконечности. Однако меня мучает мысль, что я это делаю далеко не оптимально, хочу улучшить оценку, которую получил раньше, во-первых, за счёт выбора более удачного многочлена в знаменателе (лучшего, чем i^2 + j^2 во-вторых, за счёт нахождения минимальной (или меньшей, чем есть сейчас) константы K.

Xephon

Измени, пожалуйста, свои посты, вставив теги [ math ] [ /math ] вокруг формул.
Неудобно читать.

sashok01

я бы с радостью, до только тэг [math] не работает
УПД: вставил формулы как картинки
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: