Канторово множество

natali22061979

Что-то не могу я взять в толк, как так получается, что канторово множество имеет мощность континуума.
Очевидно, его элементами являются концы выбрасываемых отрезков. Получается множество элементов вида 0,1,1/3, 2/3 ,1/9, 2/9, 7/9, 8/9 и.т.д. Очевидно, что множество таких элементов счетно.
Далее утверждается совсем не очевидный мне факт, что канторово множество не исчерпывается этими точками, после чего делается загадочный финт ушами. Все эти элементы выписываются в виде бесконечной троичной дроби.
1/3 = 0.1000...000.. или 0.0222..222..
Причем из двух вариантов записи такого числа выбирается всегда последний. Утверждается, что в такой троичной записи элементов канторова множества никогда не встретится 1. То есть, все точки содержат в своей записи только цифры 0 и 2. Если двойку заменить единицей, то мы получим двоичную запись некоторого действительного числа принадлежащего отрезку [0;1]. И из этого почему-то делается вывод о равномощности канторова множества множеству дейсвительных чисел на отрезке от нуля до единицы, то есть мощности континуума.
Объясните, где я туплю? Разве не очевидно, что как бы мы ни выписывали наши элементы, мы все равно получим счетное множество, а если сопоставим каждому его элементу какой-то другой элемент, то все равно получим счетное множество, которое будет равномощно исходному, то есть счетно.
Вразумите меня и наставьте на путь истинный.

a100153

Все эти элементы выписываются в виде бесконечной троичной дроби.
1/3 = 0.1000...000.. или 0.0222..222..
Причем из двух вариантов записи такого числа выбирается всегда последний. Утверждается, что в такой троичной записи элементов канторова множества никогда не встретится 1. То есть, все точки содержат в своей записи только цифры 0 и 2.
Действительно, из каждого отрезка мы выкидывали его среднюю треть:
1) из [0; 1] выбросили (1/3; 2/3
2) из [0; 1/3] и [2/3; 1] выбросили их середины...
Обозначая в каждом отрезке его трети номерами 0, 1 и 2, можем представить каждое число отрезка [0; 1] в виде 0,0120..., где каждаяцифра после запятой означает принадлежность к той или иной части отрезков.
Так как элементы канторова множества не принадлежат серединам отрезков, то единица в их записи не встретится.

a100153

То есть числа с нулями и двойками после запятой (в любых сочетаниях!) будут представлять элементы Канторова множества.
Теперь заменяем двойки на единицы и получаем множество действительных чисел, записанных в виде двоичных дробей. Так как некоторые сочетания нулей и единиц могут соответствовать одному и тому же действительному числу из [0; 1], но в то же время являются различными элементами Канторова множества, то оно имеет мощность >= континуума.
Но Канторово множество - часть отрезка [0; 1], поэтому его мощность <= континуум.
Отсюда его мощность == континуум

a100153

Объясните, где я туплю? Разве не очевидно, что как бы мы ни выписывали наши элементы, мы все равно получим счетное множество, а если сопоставим каждому его элементу какой-то другой элемент, то все равно получим счетное множество, которое будет равномощно исходному, то есть счетно.
Как раз дело в том, что множество не исчерпывается этими точками.

natali22061979

Спасибо большое, стало гораздо понятнее.
Хотя, чувство какого-то обмана меня не покидает.

natali22061979

Не укладывается все-таки в голове, как же так выходит, что придумав некое правило, которое порождает множество рациональных чисел, мы получаем несчетное множество. Колдовство.

Shini

/4 лежит в канторовом множестве, но не является концом отрезка.

mtk79

На каждом шаге индуктивного постоения КМ - остающееся после выкидывания середин множество S_n=U(всех отрезков) - несчетно, поэтому д.б. гораздо более интуитивнее, что и S_{\infty} будет иметь мощность континуума, чем наоборот.

kachokslava

оно не порождает рацилнальных чисел.
вот примерно та же ситуация:
возьмём все числа [0,1].
выкинем те, у которых в десятичной записи есть, скажем "7". это множество равномощно континууму.

vovatroff

> Не укладывается все-таки в голове, как же так выходит, что придумав некое правило, которое порождает множество рациональных чисел, мы получаем несчетное множество. Колдовство.
Понимаешь, математика - это и есть игра по правилам. Это и для всех естественных наук тоже справедливо, но здесь вдобавок отсутствует эксперимент, поэтому убедить себя "до конца"
вообще нельзя, потому что нечем.
Тебя же не смущает, что если ты играешь в карты, и на руках остался козырной туз, то
ты сможешь побить им любую карту? А ведь из того, что на карте нарисовано, само по себе
никак не следует, какие карты ею можно побить. Это вопрос соглашения. Но единожды введя соглашения, можно дальше уже просто играть, причем с интересом.
Кстати, тут я не оригинален, была такая концепция в философии естествознания - конвенционализм. По-моему, ее отстаивал Пуанкаре.

_mrz

с методологической точки зрения, чтобы уяснить континуальность канторова множества достаточно заметить 2 факта (вообще-то даже одного первого пункта достаточно):
(1) любое число из [0,1], представимое троичной дробью только из цифр 0 и 2, является элементом канторова множества (и только такие числа, кстати т.е. не содержится ни в одном из интервалов, которые мы удалили,
(2) множество чисел вида n/3^m из [0,1] (концов отрезков при построении - им соответствуют не любые возможные n) конечно же не исчерпывает канторово множество - это ясно из (1 т.е. очевидно, что преставление таких чисел в виде троичной дроби из цифр 0 и 2, будет всегда заканчиваться на бесконечный хвост из нулей или из двоек (что конечно не исчерпывает все возможные последовательности нулей и двоек).
очень хороший пример с числом 1/4, которое представляется троичной дробью "002)", и конечно принадлежит канторову множеству, но не является концом отрезка при построении.
Не укладывается все-таки в голове, как же так выходит, что придумав некое правило, которое порождает множество рациональных чисел, мы получаем несчетное множество. Колдовство.
Что это за "порождает"?
А если ты возьмешь не всю процедуру построения канторова множества, а только первый ее шаг, когда мы двумя точками { 1/3, 2/3 } разделили отрезок [0,1], выкинув серединный интервал, ты тоже воскликнешь: "Подумать только, не укладывается в голове, что придумав некое правило, которое порождает конечное множество из двух чисел { 1/3, 2/3 }, мы получаем несчетное множество (из двух отрезков)"?
Вроде как уже достаточно очевидно, что концы выкинутых отрезков (множество которых счетно) не образуют канторово множество. Так ведь?

lena1978

а если, например, 1/5 среднюю выбрасывать все время вместо 1/3, то не кажется более правдоподобным?
просто тогда останется множество положительной меры, а оно счетным не может быть. может так тебе легче станет поверить.

vovatroff

Можно тогда вообще ничего не выбрасывать. Оставить как есть - и будет континуум.
В примере Кантора ошеломляет именно нулевая мера остатка.
Проблема, думаю, в том, что несчетность множества есть исключительно негативное свойство.
Его можно лишь констатировать у заданного множества, но нельзя перечислить или построить
все несчетные множества, и даже все континнумы. Настолько они все разные.
Счетные множества можно все построить или предъявить, грубо говоря, опираясь лишь на свойства натурального ряда. Т.е. натуральный ряд здесь - образец. А вот с несчетными это
уже не так. Пример канторова множества как раз отвергает отрезок как возможный образец несчетного множества.

natali22061979

Во!
Дошло, наконец!
Окончательное спасибо.
Осознал.

lena1978

Можно тогда вообще ничего не выбрасывать. Оставить как есть - и будет континуум.  
В примере Кантора ошеломляет именно нулевая мера остатка.

процедура остается той же. и так же может казаться, что останутся только концы смежных интервалов. но то, что мера будет не нулевой сразу дает прямое опровержение этим заблуждениям.
а нулевая мера канторовога множества меня никак не ошеломляет.
меня больше всего поражает, что оно на отрезок непрерывно отображается.

_mrz

а если, например, 1/5 среднюю выбрасывать все время вместо 1/3, то не кажется более правдоподобным?
просто тогда останется множество положительной меры, а оно счетным не может быть. может так тебе легче станет поверить.
гыгы
интересно, с какого перепуга останется множество положительной меры?
конечно же останется множество нулевой меры в полной аналогии со случаем канторова множества (доказать в качестве упражнения)

vovatroff

> меня больше всего поражает, что оно на отрезок непрерывно отображается.
Лестница?
А вот этого я вообще в толк взять не могу
Типичный пример "неконструктивного" построения. Типа как обед в столовой: вроде и поел,
но ощущение такое, как будто не поел.

vovatroff

интересно, с какого перепуга останется множество положительной меры?
А если выбрасывать 1/7? 1/9? 1/137? И вообще - как будет в общем случае?
Объясни, коли крут

_mrz

удалил тупизм, который был здесь написан

_mrz

А если выбрасывать 1/7? 1/9? 1/137? И вообще - как будет в общем случае?
в каком таком общем случае?
Довольно очевидно, что выбрасывая на каждом шаге фиксированную (всегда одинаковую) часть каждого отрезка мера будет неограниченно уменьшаться. Т.е. мера Лебега результирующего множества - ноль. Например, если допустим из середины каждого отрезка на каждом шаге выбрасываешь интервал длиной 1/n от длины отрезка, то очевидно мера после (k+1)-ого шага равна (n-1)/n от меры после k-ого шага (которая следовательно равна n-1)/n)^k от начальной, что стремится к нулю при увеличении k).

kachokslava

Довольно очевидно, что выбрасывая на каждом шаге фиксированную (всегда одинаковую) часть каждого отрезка мера будет неограниченно уменьшаться
гон.
будем выбрасывать из отрезка [0,1] первую треть, из оставшегося - опять первую треть.
сумма выброшенного = 1/3 + 1/9 + 1/27 + .. = 1/3 / (1-1/3) = 1/2
для канторовского множества по-другому:
там на первом шаге выбрасывают треть = 1/3, на втором -два отрезка, из каждого по по 1/9,..
мера выброшенного:
1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = 1/3 / (1-2/3) = 1

vovatroff

в самом деле, очевидно.

vovatroff

В ответ на:
Довольно очевидно, что выбрасывая на каждом шаге фиксированную (всегда одинаковую) часть каждого отрезка мера будет неограниченно уменьшаться
гон.
будем выбрасывать из отрезка [0,1] первую треть, из оставшегося - опять первую треть.
сумма выброшенного = 1/3 + 1/9 + 1/27 + .. = 1/3 / (1-1/3) = 1/2
для канторовского множества по-другому:
там на первом шаге выбрасывают треть = 1/3, на втором -два отрезка, из каждого по по 1/9,..
мера выброшенного:
1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = 1/3 / (1-2/3) = 1
Да все правильно он сказал: от каждого отрезка на каждом шаге одну и ту же фиксированную
часть. Просто он (Кантор) выбрасывает не с конца, как ты, а с середины, поэтому отрезков
у него остается вдвое больше, но они - каждый - короче.

_mrz

гон.
будем выбрасывать из отрезка [0,1] первую треть, из оставшегося - опять первую треть.
сумма выброшенного = 1/3 + 1/9 + 1/27 + .. = 1/3 / (1-1/3) = 1/2

тебя глюкануло
из каких соображений получилась такая сумма?
Длина выброшенного на первом шаге какая? Правильно - 1/3.
А оставшегося? Правильно 2/3
Длина выброшенного на втором шаге какая? (первая треть от оставшегося) Правильно - (2/3)*(1/3).
А оставшегося? Правильно (2/3)^2
и так далее
очевидно сумма в точности такая же, как и в случае канторового множества (и пофиг откуда удалять - с начала, конца, середины):
мера выброшенного:
1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = 1/3 / (1-2/3) = 1

vovatroff

Ты опять прав! Всех глюкануло.

kachokslava

если с краю выкидывать - половина останется.

vovatroff

Ты путаешь разные вещи - выкинуть треть или оставить треть. От этого результат в самом деле в 2 раза будет отличаться. А с конца или с середины - действительно не важно.

_mrz

если с краю выкидывать - половина останется.
что выкидывать?
половина чего останется?
Я писал, что получится, если выкидывать на каждом шаге треть длины всех оставшихся отрезков (не важно откуда).
Если ты не согласен с чем-то из написанного , напиши с чем.
А если ты о чем-то другом, то напиши о чем.

_mrz

Ты путаешь разные вещи - выкинуть треть или оставить треть. От этого результат в самом деле в 2 раза будет отличаться.
вообще-то не будет
если в той же процедуре выкидывать не треть, а две трети (т.е. оставлять треть мера выкинутого будет по прежнему 1, а мера оставшегося 0.
Эта же ситуация очевидно, если выкидывать любую фиксированную (ненулевую) часть длины оставшегося.

lena1978

да, согласен, я протупил

lena1978

пусть выбрасываем m-тую часть от того что остается. тогда сумма выброшенного на n+1 шагах S_{n+1} = S_n + (1-S_n)m. Теперь если S_n сходится к некоторому S, получим 0 = (1-S)m. отсюда ответ.

lena1978

я понял, можно выбрасывать не фиксированную длину, а просто немного меньше чем 1/3 с таким расчётом, чтоб остаток оказался ненулевой меры. надо было сразу так сказать.

vovatroff

Согласен.

lena1978

тут ты облажался. и я тебе больше скажу, что любой метрический компакт будет непрерывным образом КСМ.
а уж взаимнооднозначным непрерывным отображением В будет обычное тождественное вложение в отрезок

_mrz

Канторово множество - компактно; канторово множество можно непрерывно отобразить на отрезок; да, такое отображение не будет взаимно-однозначным, но покрыть отрезок образ канторова множества при непрерывном отображении вполне способен.

может я чего-то недопонимаю, но:
Из чего следует, что канторово множество компактно?
Разве компакт не обязан быть замкнутым ограниченным множеством по определению? Думаю очевидно, что канторово множество замкнутым не является.

lena1978

может я чего-то недопонимаю, но:
Из чего следует, что канторово множество компактно?
Разве компакт не обязан быть замкнутым множеством (думаю очевидно, что канторово множество замкнутым не является).
 
началось. из отрезка выкинули объединение интервалов, какое множество по твоему должо остацца?
да-да, там именно открытые интервалы выбрасываюцца

_mrz

стер эту фигню

lena1978

замкнуто, как дополнение к открытому.

lena1978

ну а теорема Александрова о том, что любой компакт является непрерывным образом канторового совершенного множества.

vovatroff


Канторово множество - компактно; канторово множество можно непрерывно отобразить на отрезок; да, такое отображение не будет взаимно-однозначным, но покрыть отрезок образ канторова множества при непрерывном отображении вполне способен.

может я чего-то недопонимаю, но:
Из чего следует, что канторово множество компактно?
Разве компакт не обязан быть замкнутым ограниченным множеством по определению (думаю очевидно, что канторово множество замкнутым не является).
Кантор - компакт как ограниченное множество, дополнительное к открытому: +1
Меня смущает другое. Точнее, я плохо это помню. При каких условиях отображение, обратное
непрерывному, тоже непрерывно? Хотя бы для множеств на прямой?
Конкретно: канторова лестница f(x): [0,1] -> [0,1] - непрерывна на отрезке => ограниченная, равномерно-непрерывная, ... Вдобавок еще и монотонная по построению - совсем замечательно. Почему обратная к ней не непрерывна даже формально? (прообраз никакого открытого подмножества отрезка [0,1] заведомо не открыт, поскольку кантор не содержит ни одной своей точки вместе с окрестностью). Тут какие-то общие топологические тонкости, или все гораздо проще?

vovatroff


началось. из отрезка выкинули объединение интервалов, какое множество по твоему должо остацца?
ну детский сад
какое угодно
Если из отрезка выкинули объединение конечного числа интервалов, то тогда действительно получится замкнутое множетво, а если счетное, то какое угодно. Может ты еще станешь утверждать, что объединение счетного числа отрезков обязано быть замкнутым?
Тут ты не прав. См. хоть Колмогорова-Фомина. Объединение любого (и счетного тоже) числа открытых множеств открыто, равно как пересечение любого числа замкнутых замкнуто. Факт.

lena1978

так у канторовой лестницы обратной вообще нет

_mrz

ржунимагу
давай я тебе на пальцах объясню, а твои сильно оттопырены.
я смотрю у тебя самого пальцы веером
Очень забавно упрекать кого-то в чем-либо, демонстрируя тоже самое.
начнём с того, что интервалы, которые мы выбрасываем, открыты в отрезке. это понятно? во врема процедуры построения мы выбрасываем объединение интервалов. объединение любого семейства открытых множеств - открыто. если из отрезка выбросить открытое множество, то останется дополнение к нему. по определению, дополнение к открытому множеству - замкнутое множество.
да признаю - я облажался
Я просто ошибочно полагал, что канторово множество плотно в отрезке.

lena1978

Я просто ошибочно полагал, что канторово множество плотно в отрезке.
особенно в центральной его трети.

vovatroff

Да, пожалуй. А главное, образ отрезка относительно лестницы вообще не есть канторово множество, так что тут я глобально не прав. Отображение отрезка в канторово множество вообще ничего общего с этой лестницей не имеет... М-да...

lena1978

там такая ситуация. если взять ограничение канторовой лестницы [0,1] => [0,1] на канторово К, получим непрерывное отображение K => [0,1] НА. Оно будет принимать одинаковые значения на концах выброшенных интервалов (на каждом свое). Т.е. склейкой концов смежных интервалов мы из К получаем отрезок. Но обратного естественно не будет.
а вообще есть полезная теоремка о том, что взаимнооднозначное непрерывное отображение компакта НА (хаусдорфово пространство) есть гомеоморфизм.

vovatroff

В чем польза от греческого термина?

lena1978

гомеоморфизм = обратное тоже непрерывно.
зы. не математик?

vovatroff

зы. не математик?
Любитель. В прошлом.
Термин знаком, просто не сразу вспомнился. Зато вспомнилась шутка Арнольда: он писал, что ему вообще трудно понять современных математиков, которые, вместо того, чтобы сказать
"Петя вымыл руки", говорят примерно так: "Существует отображение t -> Петя(t) и существует
такое t0, что образ Петя(t) при всех t<t0 принадлежит множеству грязноруких петь, а при всех t>t0 - множеству,являющемуся дополнением к множеству, упомянутому при рассмотрении случая t<t0"
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: