Что такое гильбертово пространство?

kne_kne

Дайте, пожалуйста, кто занет точное определение. И чем оно отличается от Баннахова?

diana1409

Они различаются, думаю, так же, как Стади и Коммон

Eleno4ka

ты в стади ответ получаешь через сутки-двое
вообще, я когда этим вопросом про гильб. пр-во интересовалась, то в Колмогорове-Фомине полный ответ нашла. КФ есть в электронной библиотеке в сети.
Точнее сказать не могу, посколько уже забыла, чем они отличаются

stm6662307

это не будет являтся правильным ответом на экзамене

vladlenamel

Гильбертово=Банахово + скалярное произведение

elektronik

Ну не совсем...
Гильбертово пространство - это линейное пространство со скалярным произведением, нормой и метрикой, причём норма индуцируется скалярным произведением, а метрика - нормой, причём это пространство ещё должно быть полным (по норме)
А банахово - линейное с нормой и метрикой (метрика индуцируется нормой причём полное (по норме).
Вобщём, не очень грамотно, но, думаю, поймёшь!
ЗЫ в Study!

zuzaka

Гильбертовы пространства - линейные пр-ва с определенным скалярным произв-ием.
Аксиомы:
пусть H - мн-во некоторых эл-тов x, y, z, ...
Предположим:
1. H - компл. линейное пр-во.
2. Каждой паре x, y эл-тов из H поставлено в соотв-ие компл. число (x, y) - скал. произв. - с условиями:
a) (x, y) = (y, x)* (в частности, (x, x) - вещ. число);
b) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
c) (kx, y) = k(x, y) для любого комп. числа k;
d) (x, x) >= 0, причем x, x) = 0) <=> (x = 0 ||x|| = sqrtx, x - норма эл-та x.
3. H полно в смысле метрики \rho(x, y) = ||x - y||.
4. В H для любого натурального n найдется n лин-нез. эл-тов.
То есть, короче, [абстрактное] гильбертово пространство - унитарное бесконечномерное.
Банахово пр-во - линейное нормированное полное в смысле сходимости по норме.

misha79

Смотришь такие треды, а потом задумываешься - на хрена нам книжки вообще нужны?

elektronik

гильбертово пространство - унитарное бесконечномерное
На самом деле не обязательно бесконечномерное!

zuzaka

я дал определение по функану Люстерника-Соболева, стр. 83

stm7537641

Т.е. гильбертово пространство -- это банахово, норма в котором индуцирована евклидовой (если оно линейное над R) или эрмитовой (в случае поля C) метрикой + условие бесконечномерности.

elektronik

Я знаю такое определение. Мне кажется просто для нас интересны только бесконечномерные, поскольку в них мы можем рассматривать бесконечные ортонормированный базис, строить разложение по этому базису (в частности ряды Фурье). Ну а конечномерные не столь интересны! =)

zuzaka

М.б. А вы - это кто? Мехмат?

elektronik

Да вообще... Я же сказал, например, ряды Фурье!
Для прикладников, пожалуй, важны толлько результаты... но всё же!

parfum74

Главное забыл: оба должны быть полными.

stm7537641

Да, кстати, есть два разных понятия, называемых термином "метрика" -- в данном случае имеется в виду то, которое -- синоним "скалярного произведения".

stm7537641

На самом деле не обязательно бесконечномерное!
См. Колмогоров-Фомин, стр.155 (изд. 1976 года)

elektronik

См. предыдущие посты! =)

parfum74

Некоторые определиния из КФ немного отличаются от общепринятых сейчас.

stm7537641

Бесконечномерные евклидовы пространства (над полем R полные относительно индуцированной скалярным произведением нормы, тоже называются гильбертовыми.

a10074

Это не тавталогия? Просто не вижу разницы между двумя определениями...

stm7537641

Ну как же -- в одном случае векторное пространство над полем R, а в другом -- над C. Конечно любое унитарное пространство можно овеществить и получить евклидово, но все же это -- разные вещи.

fatality

Условие бесконечномерности существенно - и Гильберт изучал пространства, названные его именем, только из-за их бесконечномерности. это вам не линал. В определении очень важно также условие полноты - все последовательности Коши в H сходятся к элементу из H (в смысле скал. произв.)
Основным полем может быть и R, и C - по желанию. Так же как и скалярное произведение может быть вещественным или эрмитовым. Как уже было сказано, H естественным образом снабжается нормой/метрикой.
Банахово ЛП - полное нормированное ЛП. полнота понимается в смысле сходимости фундаментальных последовательностей по заданной норме. Кстати, и в этой области Гильберт тоже потрудился

elektronik

Я почти про то же
Только не "существенно", а более интересно! Конечномерный случай достаточно прост, как ты уже отметил "это вам не линал"!

stm7537641

Так-так, уточняем 'a в вопросе что называть гильбертовым пространством СмЕло
P.S.: Хотя ты прав что сейчас принято отбрасывать условие бесконечномерности Но с исторической точки зрения более прав наверное .

elektronik

Согласись, что это несущественное условие... Для чего оно существенно?!
Просто, скажем, Гильберт рассматривал только бесконечномерные пространства!
По сути, это условие несущественно - ведь мы всегда можем рассматривать как конечномерные, так и бесконечномерные пространства (просто, например, заранее оговаривая)!
ЗЫ думаю, не стоит по этому поводу спорить, поскольку это бессмысленно - пустая трата времени... да и, врядли, выяснится кто прав

stm7537641

По сути, это условие несущественно - ведь мы всегда можем рассматривать как конечномерные, так и бесконечномерные пространства (просто, например, заранее оговаривая)!
Полностью согласен, не раз встречал именно такую терминологию в статьях. Хотя вот близкий вопрос о терминологии -- счетным называется вроде обязательно бесконечное множество. Например вот кусок лекции с сайта НМУ: "Счетное множество равномощно множеству натуральных чисел, т.е. его элементы можно “пересчитать”.[...] Множество не более чем счетное – либо конечное, либо счетное."

elektronik

Но рассматривая линейные пространства, мы же не оговариваем их размерность - они могут быть как конечномерными, так и бесконечномерными. Но в курсе линейной алгебры мы рассматриваем только конечномерные, ну а "гильбертовы" пространства - только бесконечномерные.

elektronik

А то, что гильбертово пространство должно быть сепарабельным (в нем существует всюду плотное множество, следовательно, можно построить полный ортонормированный базис вы не забыли?
Нет! Такого условия нет, кажется!
ЗЫ Сепарабельность - это то, что существует счётное всюду плотное множество.
ЗЫ2 Если есть счётный ортонормированный базис, то он полный (очевидно)!
А счётный ортонормированный базис в таком пространстве ([бесконечномерном] гильбертовом пространстве) всегда можно построить - см. процесс ортогонализации-не-помню-кого...

plugotarenko

Если есть линейное пространство со скалярным произведением, полное по норме, задаваемым этим произведением, то оно может быть сепарабельным, а может и не быть. Иногда гильбертовым пространством называют именно сепарабельное, тогда оно только одно с точностью до изоморфизма. Так что это вопрос терминологии, а условие сепарабельности независимо от других условий.

stm7537641

Иногда гильбертовым пространством называют именно сепарабельное, тогда оно только одно с точностью до изоморфизма.
Все же их (гильбертовых сепарабельных) два -- вещественное и комплексное

plugotarenko

Если скалярное произведение - это билинейная форма, то только одно.
В компплексном пространстве рассматриваются полуторалинейные формы, их по аналогии называют скалярным произведением. Кроме того, можно провести овеществление.

sanosik

> Но рассматривая линейные пространства, мы же не оговариваем их размерность -
> они могут быть как конечномерными, так и бесконечномерными.
В отзыве одного из уральских ученых советов на мехматскую диссертацию было такое замечание: "на стр. хх автор забыл указать, что рассматриваемые им пространства могут быть как конечномерными, так и бесконечномерными"
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: