Векторное произведение в пространстве Соболева

Borey56

в двумерном и трехмерном случае где можно посмотреть?

Alexx13

 Алгебра Ли - это линейное пространство X с антикоммутативной билинейной операцией [,]: X x X->X, удовлетворяющей тождеству Якоби: для всех элементов a, b, c из X справедливо: [[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0
Пространство Соболева (Соболева-Шварца) есть линейное пространство D' обобщённых функций; алгебра Ли на нём есть сабж имхо

vovatroff

> Пространство Соболева (Соболева-Шварца) есть линейное пространство D' обобщённых функций;
Это неверно. Пространство Соболева W(m) есть гильбертово пространство, которое получается как пополнение пространства D (бесконечно гладких финитных функций) по соболевской норме, которая определена так, чтобы считать близкими те функции, которые близки по норме L2 вместе со всеми своими производными вплоть до некоторого (фиксированного, но конечного) порядка m. На языке же распределений Шварца, пространство Соболева - это пространство распределений из D', которые вместе со всеми своими (обобщенными) производными вплоть до некоторого порядка m являются распределениями класса L2. Т.е. это - строгое подмножество D'.
По поводу subj: неясно, идет ли речь о произведении вектор-фунций, компонентами которых являются элементы из W(m) (так бывает, например, при рассмотрении векторных напряженностей поля в задачах электродинамики или о чем-то другом. Возможно, из контекста это кому-то и ясно, но в subj, увы, контекста нет.

Alexx13

я имел ввиду "пространство обобщённых функций Соболева-Шварца" - это D' (инфа из Зорича, 2й том)
впрочем, автор треда приватом сообщил, что ошибся: требуется узнать как определяется скалярное произведение в пространстве Соболева ; исходим из "твоего" определения (имхо, оно верно и в тему): отлично, что пространство Соболева Гильбертово; подскажи плз., как в нём определяется скалярное произведение?
п.с. про исходный сабж я тоже недопонимаю: сочинил, что первое в голову пришло

Alexx13

Кстати, пространство Соболева сепарабельно?
(интересуюсь на предмет изоморфизма с l_2 )
п.с. посоветуй какую-н. книжицу

vit-makovey

Конечно сепарабельно - в нем ведь гладкие функции плотны.

vovatroff

(f,g)_{W(m)} = (f, g) + (f', g') + (f'', g'') + ... + (f^(m g^(m
где в правой части складываются обычные скалярные прозведения в L_2.
Логика такого определения, по-моему, понятна. Если две функции будут близки
в смысле L_2, но хотя бы какие-то из их производных порядка =< m не будут близки,
то в смысле W исходные функции не близки.

vovatroff

Да. Многочлены с рациональными коэффициентами, умноженные на обрезающие
"шапочки" ради финитности, в нем всюду плотны.
Литературы много. Классика:
Соболев С.Л. Некоторые применения функционального
анализа в математической физике.
Рид, Саймон, методы современной математической физики, в 4-х т.т.
Из учебников: Треногин, функциональный анализ.
Много чего. Смотря для чего, опять же.

Alexx13

спасибо
всё вспомнил
когда-н. на пенсии буду лежать в гамаке и читать Колмогорова - Фомина
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: