может ли множество собственных значений оператора

SVASVA

может ли множество собственных значений оператора в l2 содержать отрезок [-1,1]?

SVASVA

по всей видимости, надо использовать то, что l2 -сепарабельное гильбертово пространство

griz_a

Тебе спектр ли все-таки только собственные значения?

SVASVA

собственные значения
спектр очевидно бывает

SVASVA

если это чем-то поможет, то я умею доказывать, что если взять по одному вектору на каждое собственное значение, то получится линейно независимая система векторов (нет конечных линейных комбинаций, равных 0)

griz_a

Мне казалось, он вообще дискретный

SVASVA

кто? спектр?
спектр может быть любым компактным множеством, в том числе и данным отрезком

griz_a

Точечный спектр....

SVASVA

ну в этом в общем-то вопрос и заключается

SVASVA

в общем, если что надумайте, пишите сразу. даже если не до конца решили

griz_a

Все, матч закончился, можно поплотнее заняться задачей
Итак, т.е. меня наталкивают на мысль, что т.к. в сепарабельном пространстве счетная система, замыкание которой есть все, а собств.векторы, соответствующие разным собств знач лин. независимы, то их не может быть континуум?

SVASVA

типа того, только как это строго обосновать?

Irina_Afanaseva

неограниченный оператор может иметь континуум независимых собственных векторов

SVASVA

какой оператор, например?
и вообще, разве когда говорят "оператор", то не подразумевается, что он ограниченный и непрерывный?

Irina_Afanaseva

ограниченный тоже. конструкция имени Смолянова и Шкарина --- рассмотреть подходящее пространство типа Соболева, содержащее все дельта-функции на [-1,1],
и взять оператор $f \mapsto [x\mapsto xf(x)]$ (умножение на аргумент).
Собственно, любой компакт в плоскости так можно обработать.

SVASVA

брр
ниче не понял

Irina_Afanaseva

у них в статье подробно написано.
недавняя (в третьем тысячелетии
в библиотеке в росписи статей можно найти полные координаты статьи.

SVASVA

слушай, мне эту задачу на зачете дали, желательно решить к завтрашнему дню, так что вряд ли я успею найти эту статью

Irina_Afanaseva

все дельта-функции, сосредоточенные в точках из [-1,1] - собственные для оператора умножения на данную функцию, в этом идея Смолянова

Irina_Afanaseva

кому сдаешь?

SVASVA

да не может эта задача решаться через такую жопу
если оператор неограниченный, то все проще?

SVASVA

не буду писать, а то тут преподы бывают
может ты и есть мой препод

Irina_Afanaseva

а, понял.
надо взять геометрические прогресии с |q|<1 - эти последовательности будут собственными для оператора сдвига влево.
Чтобы в качестве собственного значения получить также +1 и -1,
просто добавляем еще 2 измерения.
то есть оператор такой:
если e_k --- это k-й стандартный базисный вектор в \ell_2, то
e_1\mapsto e_1
e_2\mapsto -e_2
e_3\mapsto 0
e_n \mapsto e_{n-1} при n>3
тогда x_1=e_1 собственный для ламбда=1
x_2=e_2 собственный для л = -1
x_л= \sum_{j=3}^\infty q^j e_j собственный для л=q\in (-1,1)

SVASVA

пипец я тупой...
хотя с другой стороны, я обратное пытался доказать
спасибо огромное, увидимся с меня пиво

Irina_Afanaseva

на здоровье!
пиво не пей президент не одобряет
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: