Помогите с задачей на 7-адические числа

vsokolov

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей:
При каких целых a уравнение $x^3 = a$ имеет решение в кольце целых 7-адических чисел.
Что делаю я.
Беру $p(x) = x^3 - a \equiv 0 (mod 7^n)$. Рассматриваю $p(x)$ и $p'(x)=3x^2$ (чтобы использовать лемму Гензеля, где нужно).
Расписываю возведение вычетов по модулю 7 в куб: $0^3 = 0, 1^3 = 1, 2^3 = 1, 3^3 = 6, $, $4^3 = 1, 5^3 = 6, 6^3 = 6$.
Делаю вывод, что a может быть 0, 1 или 6 по модулю 7. Лемма Гензеля распространяется на ненулевой случай, то есть следующие a подходят: $a = 1(mod 7 a = 6(mod 7)$.
Нулевой случай, по сути, сводится к решению в кольце целых 7-адических чисел следующего выражения:
$x^3 = 7^k\cdot b, k\geq 1, b\in \mathbb{Z}, b\neq 0(mod 7)$.
При каких k и b будет решение? Что-то подсказывает, что k должно быть вида 3d, а $b=\pm 1 (mod 7)$, но с доказательством (или другим решением) проблемы. Какими теоретическими фактами и критериями можно пользоваться и каков всё-таки будет правильный ответ?

5367093

ОМГ.. мы на каникулах!

goga7152



Что-то подсказывает, что k должно быть вида 3d
p — единственный (с точностью до обратимых) простой элемент в Z_p (поскольку это кольцо локальное).

$b=\pm 1 (mod 7)$

а почему не м.б. также 6?

stm7996762

$b=\pm 1 (mod 7)$
Это "плюс - минус". Следовательно, 6
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: