Задачи на гауссовские меры

dunkel68

Так как на форуме тэг math нифига не работает, то пока так и одна.
Пусть $f\in L^2(\mathbb R)$ и $F(x,\omega) = \int_0^1 f(x+w_t(\omegadt$. Доказать, что для п.~в. $\omega$ функция $F(\cdot,\omega) \in W^{2,1}(\mathbb R)$ (в частности, локально абсолютно непрерывна).
w_t — винеровский процесс. Выручьте плиз, если кто может.
Добыл две подсказки, одна какая-то бредовая, но дана собственно рядом с задачей: Указание: рассмотреть сначала $f\in C_0^\infty(\mathbb R)$ и оценить $\mathbf E\int_{\mathbb R} y^2 |\widetilde F(y,\omega)|^2 dy$. (\widetilde F — преобразование Фурье от функции F).
Вторая мне кажется более разумной, по тому, что я на эту тему нагуглил: применить т.н. трюк Ито—Танаки, но вот печаль мне до конца по 2 материалам из гугла не удаётся понять что за хитрый трюк такой, но вроде смысл сводится к тому, чтобы подобрать некую функцию, которую если продифференцировать и взять для неё первообразную, то с ней взять формулу Ито, после чего оценка на интеграл от производной получится как бы легко.

tester1

Есть один специалист по гауссовским мерам, один из лучших в мире вроде, фамилия на Б начинается, кажется. Вроде учебники какие-то он по функану и гауссовским мерам писал даже. Как его найти, где сейчас работает, в какой стране живёт - мне сложно сказать. Может и не жив уже. Если вдруг тебе удастся найти хотя бы емейл его, то, может, напишешь ему письмо - чем черт не шутит, может, он найдёт немного времени, чтобы помочь тебе, левому незнакомому чуваку, с решением задачки из задачника?

sven1969

дядьку не Богачев ВИ зовут случаем? если он то нах емейл, сразу пусть после спец сема выцепляет на мехмате

griz_a

Запутанность данных подсказок наталкивает на мысль о том, что это Богачев их и дал %) По-крайней мере, его подсказки звучали бы столь же каверзно.

shpanenoc

Вам устное замечание. высокомерие
Проверил, высокомерие правилами раздела не запрещается.
Не одобряю ведение дискуссии красным цветом. Пофигист, кажется, таким славился, в поздний период царствования.

dunkel68

Запутанность данных подсказок наталкивает на мысль о том, что это Богачев их и дал %) По-крайней мере, его подсказки звучали бы столь же каверзно.
ты собственно наполовину прав )

tester1

Вам устное замечание. высокомерие
Вам устное замечание. высокомерное устное замечание за высокомерие. клиническое отсутствие чувства юмора.

tester1

ты собственно наполовину прав )
я тоже сразу это понял, но ты, видимо, не уловил этого в том, что я написал, что задача из задачника.

tester1

\widetilde
наводит на мысль попытаться применить где-нить теорему Планшереля, использовать связь операторов умножения, дифференцирования и Фурье, а потом снова применить теорему Планшереля

dunkel68

Не,
вчера вечером мне рассазали хорошее решение, использующее вторую подсказку, я его сегодня днём-вечером сюда выложу, чтобы интересующиеся и знающие глянули не нагнал ли я и не упустил объяснения важных вещей.
ну и заодно тогда ещё одну задачу выложу с якобы оформленной идеей решения, но если в теме, на которую задача выше, я ещё рублю, то пространства Камерона—Мартина как бы совсем не моё..

dunkel68

прочитайте плз
http://boris.thinks.ru/pub/tmp/3.png
и помогите устранить пробелы.
вопросы:
1) я там лихо сделал вид, что (a-b)^2 <= a^2 + b^2 не рассмотрев ещё одно слагаемое, как это грамотнее оценить или что сказать про недостающее слагаемое? как бы просто по Минковскому там немного не то получается.
2) где ввернуть что-нибудь про гладкие функции и предельный переход от них к ф-циям из L^2.
3) меня смущает моя фраза «для каждого x выберем первообразную так, что F(x) = 0», то есть то икс фиксирован, то мы по нему интегрируем...
4) нет ли ещё лажи / большого пропуска нужных и неочевидных вещей?

dunkel68

ну и ещё тогда помогите стройный ход мыслей выстроить:
задача:
Пусть $\gamma$~"--- несчётное произведение одномерных гауссовских мер на $\mathbb R^T$. Доказать, что пространство Камерона"--~Мартина $H(\gamma)$ совпадает с $R_\gamma(X_\gamma^*)$ и равно $l^2(T)$ как гильбертово пространство.
Здесь T — какое-то множество/пространство,
$a_\gamma(f) = \int_X f(x) \gamma(dx)$ 
$X^*_\gamma$ — замыкание множества $\{ f- a_\gamma(f f \in X^* \}$
$R_\gamma: X_\gamma^* → (X^*)'$,
$l^2(T)$ — пространство всех отображений из $T$ в $\mathbb R$, для которых не более чем счётное множество $h(t)$ отлично от нуля и $\sum_t h^2(t) < \infty$
Я в пространствах Камерона—Мартина вообще не ориентируюсь...
Некий ход мыслей, который мне подсказали:
факт: что пр-во камерона мартина для R^N со стандартной гауссовской мерой это l^2
а дальше нужно заметить что если сдвиг лежит в пр-ве KM для R^T, то он лежит в пр-ве KM для всех счетных T_1 в l_2(T_1
T_1 - это любое счетное подмножество T
а раз любое, значит и каждое
фишка в том, что каждая функция из l^2(T)
равна 0 вне некоторого T_1

Как его облагородить?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: