Дифференцирование под знаком кратного несобственного интеграла

tester1

Подскажите пожалуйста учебник, лучше международный, в котором бы доказывалась теорема о дифференцировании под знаком кратного несобственного интеграла. Хочу сослаться на конкретный источник, где не пишется "по аналогии с одномерным случаем, бла-бла-бла", а приводится полная формулировка хотя бы, а лучше и доказательство.
Мне сабж нужен для того, чтобы обосновать, что функция
 [math]\sout{$g(x_1,\dots,x_n)=  \int_{\mathbb{R}^n} \varphi_n\Big(x_1-z_1, \dots , x_n-z_n \Big) \exp\left(-\sum_{i=1}^n \frac{z_i^2}{2c_i} \right)dz_1\dots dz_n,$}[/math]
 [math]$$g(x_1,\dots,x_n, x_{n+1},\dots,x_{n+m})=  \int_{\mathbb{R}^n} \varphi_n\Big(x_1-z_1, \dots , x_n-z_n \Big) \exp\left(-\sum_{i=1}^n \frac{z_i^2}{2c_i(x_{n+1},\dots,x_{n+m})} \right)dz_1\dots dz_n,$$[/math]
непрерывна, ограничена и имеет непрерывные ограниченные производные до порядка 4 включительно, если функция [math]$\varphi_n\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/math] непрерывна, ограничена и имеет ограниченные непрерывные производные до порядка 4 включительно, а [math]$c_i$[/math] --- положительные числа функции, на которые мы можем, в принципе, наложить любые разумные условия, чтобы добиться гладкости функции g.

Lene81

Ты чо-то непонятное написал. Интеграла с параметром тут не видно.
Updt: fixed

tester1

Пардон, ошибочка вышла. Поправил.

Lene81

Т.е. это интеграл типа свертки? Возможно, нужно искать доказательство в теории интеграла Фурье. Хотя может это red herring

Lene81

С другой стороны, при ci ->0 мы имеем дельтаобразную последовательность, а сам интеграл кажется сходящимся равномерно, т.к. он может быть оценен просто интегралом от экспонент. Возможно, в матфизических учебниках обсуждается что-то, глянь Владимирова, например.

tester1

это интеграл типа свертки?
да
за наводки спасибо, поставил плюсы, попробую порыть в этом направлении
если у кого вдруг появятся точные ссылки --- прошу делиться :)

BSCurt

Она, наверно, даже бесконечно гладкой будет.

BSCurt

Хочу сослаться на конкретный источник, где не пишется "по аналогии с одномерным случаем, бла-бла-бла", а приводится полная формулировка хотя бы, а лучше и доказательство.
В самом деле, а почему нельзя пользоваться теорема Фубини?

tester1

В самом деле, а почему нельзя пользоваться теорема Фубини?
А как, пользуясь этой теоремой, доказать гладкость по параметру?

tester1

Она, наверно, даже бесконечно гладкой будет.
с чего бы это, ведь [math]$\varphi_n$[/math] лишь четырежды гладкая.

assasin

Гладкость функции [math]$\varphi_n$[/math] здесь вообще не при чём, достаточно измеримости и ограниченности (причём ограниченность можно сильно ослабить). На самом деле в данном случае очевидна даже аналитичность. Например, можно рассуждать так. Во-первых, лучше сделать замену переменных [math]$y=x-z$[/math] . Тогда интеграл определён при любых комплексных иксах. Если функция [math]$\varphi_n$[/math] финитная, то экспоненту можно разложить в ряд и поменять местами интегрирование и суммирование (теорема Лебега о мажорируемой сходимости) --- получаем последовательность полиномов, сходящуюся равномерно внутри [math]$\mathbb C$[/math] , и теорема Вейерштрасса даёт аналитичность в этом случае. Переход от финитного случая к общему получается опять с помощью теоремы Вейерштрасса (интеграл по всему пространству есть предел интегралов по шарам). Вроде бы, нигде не наврал...
Наверняка, подобные вещи где-то обсуждаются, но надо искать. Вообще, в статьях подобные вещи обычно никак не комментируются (типа очевидно). Случай свёртки обобщённой и основной функций можно найти в том же Владимирове (в 4-м издании это гл. II, пар. 7, п. 9 но там всё тривиально из-за финитности. Беглый осмотр следующего параграфа результата не дал, но я особо не искал.

assasin

Впрочем, можно не рассматривать финитный случай отдельно. Достаточно расщепить экспоненту:
[math]$\exp\left(-\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-z_i)^2}{2c_i}\right)=\exp\left(-\sum_{i=1}^n\frac{z_i^2}{2c_i}\right)\cdot\exp\left(-\sum_{i=1}^n\frac{x_i^2-2x_iz_i}{2c_i}\right)$[/math]
и в ряд раскладывать только второй множитель.

BSCurt

А как, пользуясь этой теоремой, доказать гладкость по параметру?
Я о том как победить кратность интеграла, ты же вроде этого хотел, и свести всё к одномерному случаю.

tester1

что сказал , я пока не понял, буду ещё думать
однако выяснилось, что я вчера опять-таки дал маху: на самом деле c_i --- тоже функции

tester1

понятно теперь

tester1

В итоге нужная теорема нашлась вот здесь:
Л. Шварц. Анализ, том 1. страница 794.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: