вопрос по квантовой механнике

Eglite

Меня тут заинтересовал такой вопрос.
Все волновые функции в квант. мех. берутся из пространства L2.
Как к этим функциям применить оператор импульса, который, по-сути,
оператор дифференцирования?
Ведь мы не можем дифференцировать функции из L2 в обычном смысле.

8686087

Оператор импульса - рассматривается как неограниченный оператор в гильбертовом пространстве, у него есть область определения, разрывные функции в нее не входят. Физически это означает, что если волновая функция разрывна, то среднее значение от квадрата импульса (то есть средняя кинетическая энергия) равно бесконечности.

goga7152

Оператор id/dx определен на плотном подмножестве гильбертова пространства L_2 и является существенно самосопряженным (т.е. его замыкание самосопряженный оператор (с областью определения -- множеством "функций" из L_2, имеющих обобщенную производную снова в L_2.

vovatroff

Самое изящное, на мой взгляд, истолкование этого вопроса дает техника преобразования Фурье: берем нужную функцию из L2, вычисляем ее фурье-образ, умножаем его на независимую переменную "в импульсном пространстве" (что эквивалентно дифференцированию оригинала по x убеждаемся, что снова имеем элемент из L2 (тем самым ограничивается область определения) и делаем обратное фурье-преобразование к переменной x.
Недостаток: годится только для задач, рассматриваемых в неограниченном пространстве. Если приходится работать в областях с нетривиальными краевыми условиями на волновые функции, техника фурье-преобразования не годится, вообще говоря.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: