ln(xy) = ln(x) + ln(y) как следствие теории рядов

margo11

Возник такой вопрос.
Преамбула.
Примем за определение логарифма следующее: Натуральный логарифм - это функция, определенная в интервале (0, 2) суммой ряда
ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} * x^n / n. (Имеется в виду, что x \in (-1, 1) для сходимости ряда).
Вопрос. Можно ли теперь тождество ln(xy) = ln(x) + ln(y) {пусть все аргументы лежать в (0,2)} как-нибудь "увидеть", используя исключительно теорию рядов (суммирование, умножение и все такое, без использования связи с экспонентой и т.п.).
Вопрос не претендует на корректность формулировки, но по-моему выглядит достаточно понятно.

satyana

можно, а зачем?

margo11

Есть аналог логарифмической функции в поле p-адических чисел. Определяется именно через ряд. Потом утверждается, что верно логарифмическое свойство (утверждается без доказательства). Думаю, что доказательство, подходящее для R-случая, подойдет и для p-адического.
Я ответил "зачем".
Теперь ответишь "как"?

satyana

прям щас - сходу не отвечу, надо расписать все хорошенько. а я сейчас просто занят. а так - могу завтра подумать, если время будет.

aqvamen

угу. с помощью дифференцирования.

kjjff

ln(xy) расписываешь в ряд как функцию от ху, и обе части дифференцируешь по х, и потом, что слева преобразуется в то, что справа.
(?осторожно, я - химик, не математик)

kjjff

Ну, что то же самое, можно записать ln(xy)=ln(x)+ln(y все логарифмы расписать в ряд, и далее дифференцированием показать тождественность рядов.

tramal

а не зае.етесь там дифференцировать-то?

kjjff

Здесь дифференцирование - на уровне школьной математики, и потом один раз применить сумму бесконечноубывающей геометрической прогрессии, и все!

margo11

выкладки где?

kjjff

ln(xy) = ln(x) + ln(y отсюда должны выполняться равенства: dln(xy)/dx = dlnx/dx и dln(xy)/dy = dlny/dy
Логарифмы расписываем в ряд.
ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - (x-1)^4 + ....
d(ln(x/dx = 1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + ... = 1/(1-1+x) = 1/x
d(ln(y/dx = 1 - (y-1) + (y-1)^2 - (y-1)^3 + ... = 1/(1-1+y) = 1/y
ln(xy) = (xy-1) - (xy-1)^2/2 + (xy-1)^3/3 - (xy-1)^4 + ....
d(ln(xy/dx = y*[1 - (xy-1) + (xy-1)^2 - (xy-1)^3 + ... = y/(1-1+xy) = y/xy = 1/x
d(ln(xy/dy = x*[1 - (xy-1) + (xy-1)^2 - (xy-1)^3 + ... = y/(1-1+xy) = x/xy = 1/y

margo11

Пасибо.
Неплохо для химика (только пусть химики не обижаются)

margo11

Может попробуешь подумать без дифференцирования? А то у меня в поле понятие дифференцирования отстуствует, а вводить его не хотелось бы.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: