Задача особое решение или особый метод

stm8617429

помогите решить
t* x(2точки) +(альфа + t^3 )* x = 0
x(0) = 1, x(1) = 0 , 0< t< 1 ;
при альфа равным 0 и 1.
какое особое решение или особый метод при альфа раыным 1 ?

griz_a

x{t+h}=x{t}+dx/dt{t}*h+d^2 x/dt^2{t}*h^2+d^3 x/dt^3{t}*h^3+O(h^4)
dx/dt{t+h}=dx/dt{t}+h*d^2 x/dt^2{t}+d^3 x/dt^3{t}*h^2 + O(h^3)
d^2x/dt^2{t+h}=(alpha+(t+h)^3)*x{t+h}/(t+h)
d^3x/dt^3{t+h}=dx/dt{x+h}*(alpha+(t+h)^3)/(t+h)+x{t+h}*(-alpha/(t+h)^2+2*(t+h
Стартуем из точки 0, с х{0}=1, dx/dt{0}=beta, d^2x/dt^2{0}=d^3x/dt^3{0}=0.
beta: h* sum_{i=1..1/h} dx/dt(x+ih) = -1

stm8617429

спасиба
а почему рунге - кутте не будет работать при альфа = 1?
что значит это?
beta: h* sum_{i=1..1/h} dx/dt(x+ih) = -1  

griz_a

Я не вполне помню, в чем состоит рунге-кутт.
А то, что там написано - условие на бэту

griz_a

При alpha=0, кстати, d^3x/dt^3{0} можно взять и не 0, а высчитать из уравнения.
При alpha!=0 из уравнения нельзя вытащить ни вторую, ни третью производные в нуле и потому получается лишняя погрешность, когда мы ими пренебрегаем.
Можно, кстати, при ненулевом альфе забить на третью производную, т.к. при первом шаге мы все равно берем погрешность O(h^2 а то, что остальной метод даст O(h^3) уже не круто.
Так что при alpha=1 погрешность метода O(h^2) и третью производную можно не брать, может в этом особенность?
А при 0 O(h^3) и там с третьей проихвожной

stm8617429

почему на первом шаге при альфа= 1 погрешность О(h^2) ?
и откуда при альфа= 0 возьмем третью производную?

griz_a

Третья производная берется с помощью дифференцирования исходного уравнения и использования первой производной и самой фунции.
Погрешность O(h^2) потому, что при alpha!=0 из уравнения в точке 0 вторая производная данным уравнением не определяется. Приходится оценивать значения функции и производной в точке h с меньшей точностью

griz_a

Хотя она там вообще порядка 1/t, т.е. уходит в бесконечность. Так что, наверное, вообще можно только о-малое от h

griz_a

Я понял, что я торможу. вопрос - там дифференцируемость какая-то дана в 0 или нет?

stm8617429

griz_a

По идее, она в нуле даже непрерывной быть не обязана, так что x(0) нам мало что дает
Если приянть ее непрерывно-дифференцируемой в 0, трижды дифференцируемой в 1, то можно брать ту же формулу, но для alphа=1 получится только о(h) (маленькое)

griz_a

Я, дубина, почему-то пополам и на шесть не поделил второй и третий члены ряды тейлора

stm8617429

а для альфа = 1 и точки 0 , берем только вторую производную? почему там о(h) получается?

griz_a

Потому, что если функция непрерывно-дифференцируема, но не дважды дифференцируема, то ее остаточный член оценивается o(x) (например, корень из x, можно только сказать, что sqrt(x)=o(1 но не O(x
Везде в отрезках ряда тейлора надо поделить i-ый член на (i!)
Еще я подозреваю, что можно более реально перейти от правого конца к производной в левом, но не помню как =(

griz_a

Кстати, я вспомнил, в чем состоит метод Рунге-Кутта. Лучше переделать им?

stm8617429

так рунге-кутта не работает при альфа = 1. а почему я так и не понял.
решение типа не будет гладким

griz_a

Потому что в нуле в ряд тейлора дальше первой степени не разложишь при ненулевом альфа, а для рунге-кутта нужно до второй в крайней точке и до третьей во всех остальных включительно

stm8617429

а как тогда передать ты хотел рунге-куттом?

griz_a

когда alpha 0. Не то, чтобы я хотел, но если надо именно им...

stm8617429

еще раз можно, пусть альфа =1.
в каком виде ищем решение? что в нуле делаем? принимаем ее непрерывнои и дифф.?

griz_a

Нам дано условие в 0, поэтому приходится отталкиваться от него.
Значит, придется первое приближение делать плохое - с точность o(h) при условии гладкости решения в 0.
x(h)=x(0)+beta*dx/dt(0)+o(h)
dx/dt(h)=dx/dt(0)+o(1)
x(jh)=xj-1)h)+dx/dtj-1)h+d^2x/dt^2j-1)h)*h^2/2+o(h^2)
dx/dt(jh)=dx/dtj-1)+d^2x/dt^2j-1)h+o(h)
d^2x/dt^2(jh) определяется из дифура.
Итого получаем функцию с точность o(h^2)+o(h)*h на шаге, т.е. погрешность порядка o(h) на 2 и так далее шагах и такую же на первом. Что и требуется. При этом не требуется трижды дифференцируемости, а только дважды непрерывно-дифференцируемость
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: