Помощь с задачами по слупам / стохастическим интегралам

dunkel68

У меня есть три задачи, две из которые я вроде "решил", за третью пока не брался. Условия и мои "доказательства" привожу ниже. Задачи вроде бы не очень сложные. Может ли кто из секущих предмет посмотреть правильно ли я решил первые две и дать идеи для 3?
Задача 1.
[math]   \it Для винеровского процесса $w_t$ доказать, что $\exp(w_t - t/2)$ п.~н. стремится к~0 при $t\to+\infty$.  [/math]
[math]  {\it Доказательство.}     Докажем, что $w_t - t/2 \to -\infty$ п.~н. при $t\to+\infty$, тем самым докажем требуемое утверждение.       Воспользуемся законом повторного логарифма (теорема Хинчина). По нему известно, что п.~н.     $$      \varlimsup\limits_{t\to\infty} \frac{|w(t)|}{\sqrt{2t \ln\ln t}} = 1.     $$     Поэтому $\forall t>T$ п.~н.     $$      w(t) \leqslant |w(t)| \leqslant \sqrt{2t\ln\ln t} + \varepsilon.     $$    [/math][math]     Отсюда     $$      w(t) - t/2 \le \sqrt{2t\ln\ln t} + \varepsilon - t/2,     $$     где правая часть, очевидно, стремится к $-\infty$ при $t\to+\infty$.  [/math]
Задача 2.
[math]   \it Пусть $\mathcal F_t$~
[math]  {\it Доказательство.}    Так как фильтрация $\mathcal F_t$ порождена винеровским процессом $w_t$, то известно, что пара $(w_t, \mathcal F_t$) является мартингалом. Можно считать, что траектории винеровского процесса $w_t$ непрерывны п.~н. Тогда выполнены условия теоремы Дуба об остановке (для непрерывного времени по которой для конечного марковского момента $\tau$    $$     \mathbb Ew_\tau = \mathbb Ew_0.    $$  [/math]
[math]    Из этого получаем, что для каждой реализации~$s$ случайной величины~$\tau$    $$     \mathbb E(w_s)^2 = \mathbb E(w_s)^2 - (\mathbb Ew_0)^2 = \mathbb E(w_s)^2 - (\mathbb Ew_s)^2 = \mathbb Dw_s = s.    $$    Окончательно    $$     \mathbb E(w_\tau)^2 = \mathbb E\tau.    $$  [/math]
(В частности, здесь самое последнее утверждение мной, мне кажется, что притянуто за уши, его можно как-то более строго сформулировать?)
Задача 3.
[math]   \it Пусть $\mu$~

svetik5623190

Утверждение задачи 3, кажется, верно - где-то слышал о подобном. Но доказательство не помню.

dunkel68

Было бы странно, если бы мне дали доказывать неверное утверждение. По первым двум ничего не можешь сказать?

svetik5623190

Сходу - нет, а вникать, к сожалению, нет сейчас возможности.

viri

В 1ой задаче идея верная. Во 2ой для ограниченного момента остановки достаточно заметить, что B_t^2 - t непрерывный мартингал и по теореме Дуба об остановке для огр. м.о. ожидание этого мартингала в м.о. равно его ожиданию в момент 0, т е нулю.
(Если от м.о. требуется только существование 1го момента, то утверждение 2ой задачи называют вторым тождеством Вальда для BM, про тождества Вальда можно почитать в Ширяеве)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: