Мультипликатор системы диф.уравнений

Valeryk

А что такое мультипликатор системы диф.уравнений с переменными коэфициентами?
10 учебников дают невразумительные ответы
Например к задаче x''=Ax, где A-это некая матрица?

lenmas

Множитель?
P.S. На уровне предположения :)

Valeryk

нет. это как то связано с матрицей монодромии.

lenmas

Я так и подозревал, что это не то. А раз матрица монодромии, то нету ли этого в книжке Арнольда?

Valeryk

Именно оттуда я и начал поиск. Просмотрел 3 или 4 книжки Арнольда, в одной из них есть упоминание, но вот как его искать-ни слова.

lenmas

То-есть преобразование монодромии есть, а матрицы монодромии нет?
Может, просто преобразование монодромии для линейной системы само линейно для каждых пар моментов времени, и типа матрица этого линейного преобразования и есть матрица монодромии? :confused:

Valeryk

так.я не математик.
что такое матрица монодромии понятно. но вот связь мультипликатора с ней - нет. и как его искать тоже.

lenmas

Если я правильно понимаю, что такое преобразование монодромии, то мультипликатор --- это и есть оператор линейного преобразования монодромии. Если A постоянна, то это
[math]  $$  e^{A(t_2-t_1)},  $$  [/math]
где преобразование монодромии производит перевод состояния в момент времени t=t_1 к моменту t=t_2. Если А --- непостоянна, то это X(t_2 где X(t) --- фундаментальная матрица системы с условием X(t_1)=I, где I --- единичная матрица.

Valeryk

Напомним некоторые факты из теории периодических решений дифуров. Собственные значения оператора монодромии(лямбда) T-периодического решения решения называются мультипликатором,. Мультипликаторы могут быть комплексными

Это из какого-то Арнольда. Мат аспекты механики.

svetik5623190

А что такое мультипликатор системы диф.уравнений с переменными коэфициентами?
Подозреваю, что это связано с исследованием типа особой точки. Если линеаризовать поле скоростей V в уравнении x'(t)=V(x) в окрестности неподвижной точки y, V(y)=0, получится уравнение вида x'=Ax, где А - матрица с постоянными коэффициентами. Если матрица невырождена, то тип особой точки полностью определяется матрицей А. На помощь приходит запись А в жодановой форме.
Для неавтономных дифуров (один многомерный дифур = система одномерных дифуров) вроде как кухня примерно та же.
Так вот, если не гоню, в случае, если А допускает базис, состоящий из собственных векторов, то собственные значения, соответствующие этим собственным векторам, и называются мультипликаторами.
Если гоню - сорри.

lenmas

Ну вот, сам спросил, сам ответил :grin:
Только непонятно, как у одного решения может быть целый оператор монодромии :crazy:
Забыл я уже лекции Ильяшенко, а ведь он нам это все рассказывал :D
Там действительно у T-периодических матриц были какие-то свойства. В общем, у T-периодических правых частей систем та матрица монодромии, о которой я пытался писать, через период не зависит от конкретного начального времени, и это типа и есть наверное мультипликатор скачка через период. И там действительно есть какие-то теоремы про поведение решений (типа плотности намоток на тор, если отношение двух собственных значений --- иррациональное число). В общем, читай Арнольда или его ученика Ильяшенко (он у нас в универе лекции читал они еще в независимом университете читали :) Может, найдешь лекции Ильяшенко где в инете или на мехматовской электронной библиотеке.

Valeryk

мне бы банально узнать как найти этот мультипликатор.....

svetik5623190

Так что там выяснилось? Нагнал я?

lenmas

мне бы банально узнать как найти этот мультипликатор.....
Для постоянных матриц вроде понятно, что это собственные числа exp(AT а для произвольной периодической матрицы ты уверен, что можно просто так найти эту самую матрицу монодромии без нахождения фундаментальной матрицы системы? Я вот не уверен.

Valeryk

вот например 141 страница Филлипов задача 123. Просят сказать что такое мультипликатор системы x'=А(t)*х

lena1978

в интернете пишут http://www.math.nsc.ru/AP/hgnet/stat/Article17.doc

Valeryk

нет.мне что-то страшно читать это......

lena1978

ctrl+F :)

lena1978

не, чо-то и правда стремное)

Valeryk

да не. кстати я прошарил. В задаче то спрашивается что такое мультипликатор для этой систмы. То есть не требуется его находить.

lena1978

ну и какой ответ? :ooo:

Valeryk

ща пощитаю. просматриваю зону палома бланки-не до мультипликаторов. :)

Valeryk

ну фактически-это банально собственные числа матрицы монодромии, а матрица монодромии есть dU/dT=A(t)U, где U эта матрица. Я так понимаю, что это и требуется сказать в этой задаче.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: