Задачка по функану СРОЧНО

gerah2008

Есть оператор из L2[0,1] -> L2[0,1]
A: x(t) -> integral(0, t) x(y) dy
Доказать, что А компактен.

Ionized

А переводит единичный L_2-шар в множество почти всюду дифференцируемых (а значит, и непрерывных) функций, лежащих внутри квадрата [0,1]x[0,1], исключая только тождественную единицу. Обзовем это мн-во M. Для M, в силу теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной ф-и мн-нами, для любого эпсилон>0 существует конечная эпсилон-сеть, а значит M вполне ограничено. Кроме того, очевидно, что M полно, а в метрическом пространстве полное и вполне ограниченное множество - предкомпактно.
Значит, А переводит все шары в предкомпактные множества.
 
А раз любое огр. мн-во можно заключить в шар, то A переводит огр. в предкомпактное, то есть компактен.

topboy84

это оператор Волтерра, а он компактен ( см. Колмогоров-Фомин)

Ionized

Оператор Вольтерра вроде только на пр-ве непрерывных функций определен, а у нас L_2...

topboy84

ну значит слагал я, ибо память как у лягушки.
все равно, тогда скажем, что ядро оператора из L^2[0;1]*[0;1]
такие тоже компактны

soldatiki

+1
Интегральные операторы с квадратично интегрируемым ядром компактны как операторы на L^2.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: