вопрос по функану

Goodnight18

Подскажите, пожалуйста, является ли пространство k-раз дифференцируемых функций (Сk[a,b] ) гильбертовым?

dal-las

Нет.
Для функций f(x)=1, g(x)=x на отрезке [0,1] не выполнено равенство параллелограмма.

kachokslava

нет. потому что не полное.

lena1978

показать, что стандартная норма в этом пространстве не задается скалярным произведением просто. для этого, как предложил , достаточно рассмотреть двумерное подпространство, натянутое на 1 и x. единичная сфера в этом подпространстве не будет сферой в обычном смысле (это будет ромб а скалярное произведение должно было дать окружность либо эллипс (короче, кривую второго порядка).
не знаю, будет ли этого достаточно, для ответа на вопрос. типа если там существут какая-нибудь норма, задваемая скалярным произведением и эквивалентная стандартной, то тогда что?

lena1978

не знаю, будет ли этого достаточно, для ответа на вопрос. типа если там существут какая-нибудь норма, задваемая скалярным произведением и эквивалентная стандартной, то тогда что?
да, будет достаточно. там ведь пространства с точностью до изометрии рассматриваются, а не гомеоморфизма.

lenmas

Про С то вроде факт известный. В гильбертовом пространстве для любых единичных векторов e_1,e_2,..., e_n существует такая расстановка знаков, что норма вектора +-e_1+-e_2+-...+-e_n будет не меньше корня из n (доказывается по индукции). А в С[0,1] для любого n существует набор векторов e_1,e_2,..., e_n единичной нормы в С, что норма +-e_1+-e_2+-...+-e_n всегда равна 1 (например, на отрезках [0,1/n], [1/n,2/n],...,[1-1/n,1] такие треугольники с высотами 1 и 0 вне каждого из этих отрезках). Поэтому равномерная норма на С и гильбертова норма должны на некоторой комбинации этих единичных функций были бы отличаться не менее чем в корень из n раз, то-есть не могут быть эквивалентны.

lena1978

круто
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: