Взять интеграл: xsin(x)dx от 0 до бесконечности

Ivanych

Плиз!
ЧТо-то никак не берётся...

st2006

раслабся
он не берется

Ivanych

да.я тоже так думал.Он не сходится.
Но всё-таки,может быть он берётся?

aldo63

Ты смеешься, что ли?

Nitochka

Ты график нарисуй и подумай, может ли сходиться такой интеграл!

st2006

sin(x)-xcos(x) - первообразная вот такая получается
если ты знаешь чему равен cos и sin на бесконечности ,то я соглашусь что он сходится

incwizitor

график ничего не показывает.
функция не обязана стремиться к нулю для того, чтобы интеграл сходился. и даже может стремиться к бесконечности.
в данном случае интеграл расходится (= не сходится).

Nitochka

Это понятно, что не обязана. Но имхо по графику расходимость видна на основании неких интуитивных предчувствий.

incwizitor

Он не сходится.
Но всё-таки,может быть он берётся?

я думаю, у этого человека нету

неких интуитивных предчувствий
 

st2006

я тож проперся от этой фразы

a7137928

функция не обязана стремиться к нулю для того, чтобы интеграл сходился. и даже может стремиться к бесконечности.
Давай пример такой функции. Заценим.

z731a

f(x) = 0, x - не натуральное
f(x) = x, x - натуральное

assasin

e^{x/2} sin e^x
Конечно, функция не стремится к бесконечности. Подразумевалось, что функция неограничена.

chmax

а к чему интеграл от такой функции сходится?

Razigel

Заноси sin e^x под дифференциал и по частям. К чему-нибудь да сходится.
Если отказаться от непрерывности, то легко построить пример функции f такой, что |f|->00 и интеграл сходится.

mtk79

а это зависит от того, чему равен нижний предел

lenmas

Его значение равно единице.
PS Тьфу, блин, нулю он равен. Ошибся в арифметике

Ivanych

а написать решение можешь?Хотя бы в общих чертах?
Откуда это следует?Что нулю?

lenmas

Интеграл сходится методом суммирования Абеля. Сначала надо функцию умножить на exp(-px p>0, и посчитать получившийся интеграл (он в данном случае равен 2p/(1+p^2)^2); то-есть вычислить преобразование Лапласа. Потом если устремить p->0, то этот предел (если он существует) называется обобщенным значением интеграла по Абелю. У тебя он равен нулю. Если умножать не на exp(-px а на exp(-px^2 то такой обобщенный способ суммирования называется методом Вейерштрасса (он берет больше интегралов, в том числе экспоненциального типа, чего не может метод Абеля).

Abdim59

что-то я в этой жизни упустил....
Ни разу не слышал про такой способ интегрирования, но право на существование он вроде имеет.
Теперь осталось выяснить ещё один принципиальный вопрос, а зачем автору нужно было значение этого интеграла, ибо имхо, значение, вычисленное по этому методу, будет применимо явно не в каждом случае.

Ivanych

Заданьице одному челу дали.Посчитать интеграл...

Ivanych

Может,кто ещё какое-нибудь решение предложит?

Ivanych

Ну так что-больше никаких мыслей нет по поводу интеграла?

lenmas

Да смело пусть относит это решение. Другое значение навряд ли получится, так как все методы дают одно и то же значение, если они применимы. Если только задачу один препод (ВВГ) не дал. Тогда ответ - просто расходится (в обычном смысле)

lena1978

я согласен. либо расходится, либо, если суммировать хитро, то 0.

mtk79

Из извращенных методов суммирования бесконечностей (т.е. то, что в обычном анализе делать нельзя) можно еще такой предложить:
\int x*sin x dx =\int (x exp(ix) -x exp (-ix / 2i=1/4i * \int _{-\infty}^{+\infty} (x exp(ix) -x exp (-ix =1/4i * (F(x k=1-F(x k=-1)=1/4i *(\delta'(1)-\delta'(-1=0 т.к. supp(\delta')={0}
F-фурье
или такая оценка:|\int x*sin x dx|<=\ int x dx=\sum_{k=1}^{\infty} \int_{k-1}^k x=\sum_{k=1}^{\infty} (n-1/2)=\zeta(-1)-\zeta(0)/2=1/3

ARTi

Если только задачу один препод (ВВГ) не дал
кто это?

KaterinKa

все методы дают одно и то же значение
Пардон, а если я умножу подынтегральную функцию на x*e^{-px}, например, а потом в интеграле устремлю p к нулю, то получится -2.
Или такой "метод" тут неприменим?

mtk79

тогда у Вас предел новой подынтегральной функции при p->+0 не будет равен старой

lenmas

Твоя функция, на которую ты домножаешь, должна при стремлении параметра сходиться к единице (а у тебя нет). Или, по-другому, метод должен быть регулярным, то-есть для сходящихся (в обычном смысле) интегралов давать то же значение, что и обычное значение интеграла. Ну, это грубо, на пальцах. Можно точно математически сформулировать, только я не мастак.

KaterinKa

А, извиняюсь, что-то не заметил.
Но просто интересно, откуда такое утверждение, что все регулярные методы дадут одно и то же значение?

mtk79

Вы же видите, что они в данной задаче нифига не регулярные.
А там, где они применимы, есть соответствующие теоремы.

a7137928

Конечно, функция не стремится к бесконечности.
Вот об том и речь. А то я уже усомнился в устоях.

assasin

Но просто интересно, откуда такое утверждение, что все регулярные методы дадут одно и то же значение?
А нет такого утверждения. Не знаю, как для интегралов, а для последовательностей несложно доказать, что для любой расходящейся последовательности и любого числа можно придумать регулярный метод, который данную посл-ть суммирует к данному числу (все в поле вещественных чисел)

assasin

В ответ на:
Конечно, функция не стремится к бесконечности.
Вот об том и речь. А то я уже усомнился в устоях.
Но если стремление к бесконечности понимать как |f(x)|->\infty, то пример легко построить

NHGKU2

Может в обобщенных функциях надо?..

Ivanych

хороший вопрос.может и надо.На самом деле-какой-то это стрёмный интеграл всё же...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: