УрЧП: вопрос N2

tramway5

Есть уравнение в частных производных вида:

где индексы (0,1) и (1,1) означают дифференцирование по (у) и (х,у) соответственно.
Вопрос таков:
Могу я упростить это уравнение, не нарушая общности решения каким-то образом? Проинтегрировав по (у) например ? Или решение получившегося уравнения вообще говоря не будут совпадать с общим решением исходного?
Спасибо.
P.S. Извиняюсь за тупняк.

griz_a

Конечно, условие [math]$\frac{\partial g(x,y)}{dy}=0$[/math] равносильно условию [math]$g(x,y)=C(x)$[/math].
Только не забудьте, что интеграл надо приравнивать произвольной функции от x.

lenmas

У него там зависимость от q(x,y) в экспоненте.

tramway5

Да нет, это не важно. В целом я понял, что можно взять интеграл от обеих частей приравняв его некой функции от (х уточнить которую можно было бы зная граничные условия какого-то там рода, я не помню, на производную функции q по (х) , при (y=0). Но это не очень помогает, в этой задаче задано лишь поведение функции q при y=0.
А как бы Вы решали такое уравнение ? Аналитически разумеется. (Вопрос всем)

lenmas

Так я не понял, у тебя там q(x,y) есть в экспоненте?
Если так, то скорее всего это и есть общий вид, дальше не упростишь. Тут никак его не сведешь к интегрированию по какой-то одной переменной.

griz_a

[math]$ -e^{-q(x,y)} \frac{\partial q}{\partial y} = -\frac{\partial e^{-q(x,y)}}{\partial y}. $[/math]
[math] $-e^{-q(x,y)}+\frac{\partial{q(x,y)}}{\partial x} = f(x)$ [/math]
Поскольку дифференцирования по y нет, решаем как для функции одной переменной,
Только вот он так просто не решается и не знаю есть ли у него вообще хорошие решения.
Ну, в общем, идея понятна - если решение дифура
[math]$ u'(x)-e^{-u(x)}=f(x)$[/math] есть функция [math]$ H(C,f(xx)$[/math], то решение исходной задачи -
[math] $H(C(yf(xx)$[/math], где f, C - любые дифференцируемые функции

lenmas

Круто! Сам никогда б так не догадался :o

tramway5

Ой, я не ожидал такой развернутый ответ.
Спасибо большое.
С этим я что-нибудь вероятно придумаю.

tramway5

Яничегонепонял N2:
Скажем имею систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных такого вида:


Где отражена информация о частных производных искомой функции q по (y) и (х) в первом и втором уравнениях соответственно. С(у) - некая простая известная функция.
Очень хочется взять, скажем, первое уравнение, рассмотреть его как обычный диффур и разрешить относительно q. Могу я сделать что-то подобное? С добавкой неизвестной функции от (х) или это совсем ересь? Если нет, то всё равно есть впечатление, что для такой системы можно найти однозначное аналитическое решение. Будь оно так, то как это делается правильно?
Я еще раз извиняюсь за тупняк.
Спасибо.

griz_a

Да, берете каждое уравнение и пытаетесь его решить. А потом смотрите чтобы одно и то же получилось.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: