Ряд Тейлора со знакочередующимися членами

Brina

Есть ли что-то фундаментально общее у функций f(x дающих такое разложение? Особо интересует случай, когда заведомо известно, что f(x = 0) = 0... Заранее спасибо...

mtk79

конечно есть: если рассмотреть функцию [math]$$ g(\alpha)=\left.\left( \frac{\partial}{\partial x} \right)^{\alpha} f \right|_{x=0}$$[/math] — то она постоянно меняет знак на [math]$\alpha \geqslant 0$[/math] и нагло синусит

Brina

А еще более конкретно про функции, представимые в виде
,
где ki — некие коэффициенты...

Brina

и нагло синусит
Т.е. является периодической?

mtk79

нет же, конечно (да — я подозреваю, только у e^{-x}). просто осциллирует

Brina

Чего-то я ТеХ забыл... А если член разложения может быть записан в виде
(-1)^i*ki*x^(2i+1
суммирование ведется от 0 до бесконечности.

Brina

Я знаю, что нет... Просто надежда умирает последней...

lenmas

Функции, у которых
[math]  $$  (-1)^pf^{(p)}(x)>0,\quad x>0,  $$  [/math]
называются вполне монотонными.
Очень сильно изучены в математике, в частности являются аналитическими по полупрямой x>0.

Brina

Спасибо...
А если разложение нашей функции похоже на разложение синуса

Но вместо 1/(2n+1)! идет неизвестный, зависящий от n положительный коэффициент k_n:

iri3955

Может поможет тот факт, что в этом случае разложение f(-x) знакопостоянно?

antill

дробные производные через преобразование Фурье определяем?
вообще, интересная получается кривая в пространстве функционалов на пространстве бесконечногладких функций... можно рассмотреть, в частности, как кривую в пространстве обобщённых функций, проходящую через все производные дельта-функции...
хм, любопытно

antill

Может поможет тот факт, что в этом случае разложение f(-x) знакопостоянно?
а откуда этот "факт" следует? ;)

iri3955

Эм... А что, не так?

antill

х выносится за знак ряда, после чего под рядом остаются только чётные степени х

mtk79

лучше через свертку с [math]$$\Phi_{\alpha} \equiv \frac{x_{+}^{-\alpha-1}}{\Gamma(-\alpha)}$$[/math], дабы не вводить в искус самой вероятностью комплексности итогового выражения

antill

нихрена не понял

Brina

разложение f(-x) знакопостоянно
Насколько я понимаю что-то, это неверно. Для синуса не должно работать (и не работает ибо синус как бы нечетная функция. И его как бы разложение...

iri3955

У синуса каждый второй член 0, так что он очень даже подходит

mtk79

я так понимаю, имелся ввиду не f(-x а f(ix) (действ. или мнимая части) — т.е. функция, получающаяся зачеркиванием минусов (через одного) в ряде Тейлора. Короче, для sin —это sh

Brina

А-а-а... Пусть так.

lenmas

Ну, а если все приводится к разложению вида
[math]  $$  g(y)=\sum_{i=0}^\infty k_iy^i,\quad k_i\geqslant0,  $$  [/math]
то это называется абсолютно монотонной функцией.
По-моему, Бернштейн занимался такими функциями.
Вот тебе ссылка на статью, где разбираются похожие на твою функции
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrni...

Brina

Спасибо, буду знать...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: