Задача по теории вероятности

post2225441

Обычная монета 10 раз подряд упала на "орел".
Какова вероятность, что в 11-й раз она упадет на "орел"?
50% или меньше?

NHGKU2

%
пусть A_i - событие, состоящее в том, что в i-тый раз выпал "орел"
по определению условной вероятности
P(A_11|A_1...A_10)=P(A_1...A_11)/P(A_1...A_10)=(1/2)^11/(1/2)^10=1/2.
(все в предположении, что монетка "правильная", бросания независимы и т.п.)

Katty-e

Надо пересчитывать по Байесу.
Ответ 10/11.

navstar

Если монета действительно обычная, то 50%. Но то, что она только что упала 10 раз подряд на "Орёл" наводит на мысль, что она необычная, и что вероятность выпадения орла для неё > 50%

yurimedvedev

не, она действительно обычная, но только что произошло очень маловероятное событие, которое бывает один раз на тысячу...

NHGKU2

точнее, один раз на 1024

yurimedvedev

нет, точнее на 2^10

NHGKU2

если хочется оценить параметр тэта (где тэта - вероятность выпадения орла, 1-тэта - вероятность выпадения решки то методы мат. статистики говорят, что в приведенном случае можно считать тэта лежит в интервале [1-эпсилон,1] с вероятностью ошибки 1/[40*(эпсилон^2)], например для эпсилон=0,1 вероятность ошибки будет 1/4. а для эпсилон=0,5 - 1/10.
т.е. тэта>0,5 с вероятностью 9/10, во как
хотя выборка маловата, так что улучшить оценку не удастся

NHGKU2

не флуди 2^10=1024.

Vitaminka

бросания независимые?

yurimedvedev

А вообще, это правильная задача? Я так понимаю, можно опустить случайно одно слово в условии, от чего задача сильно изменится. В данной формулировке вероятность выпадания очередного орла такая же, как и предыдущего.

post2225441

а какое это слово надо добавить?
и что значит бросания независимые и зависимые

zuzaka

% - так показывает практика. Это не следует не из чего. Доказать зависимость/независимость, равно- или неравновероятность можно только экспериментально. Опыты демонстрируют, что именно для монет вер-ть никак не зависит от предыдущих бросаний, что вполне ожидаемо, но ниоткуда не следует

lilith000007

Вообщем ответ 50%

Katty-e

Пусть параметр выпадения орла равен х. Считаем, что монета, вообще говоря, несимметричная, но ее бросания независимы.
Пусть полная группа событий А_у, где у=1,...,2^10, есть, например, А_у={выпала цепочка 0110101010} ( то есть мы упорядочиваем все цепочки длины 10 в лексиграфическом порядке, после чего нумеруем в соответствии с ним ). 0 соответствует орлу.
По формуле полной вероятности,
Р(в 11й раз выпадет орел | А_у={0000000000} ) = integral_[0,1] P(в 11й раз выпадет орел | А_у={0000000000},x)P(А_у={0000000000} | x)dx / ( integral_[0,1] P(А_у={0000000000} | x)dx ) =
= integral_[0,1] (x*x^10) / integral_[0,1] (x^10) = 11/12.
Хм, странно...я думал, что 10/11.
Проверьте вычисления, пожалуйста.
Первая вероятность в первом интеграле равна х, так как испытания независимые.

zuzaka

Ты предполагаешь, что у тебя бернуллиевский процесс. Строго говоря, никаких гарантий этого ты не имеешь

Katty-e

Строго говоря.
Но условие - бросается одна и та же монета, последовательно, десять раз.
Вероятностники обычно расшифровывают эти слова как "одна монета, независимые испытания".

Sanych

Проблема в другом, если эта одна монета выпадает с вероятностью t орел и 1-t решка, то почему ты считаешь что t равномерно распределено на [0,1]? Почему не t=1/2, или например плотность может падать линейно при движении от середины к концам, да что угодно можно предположить...

Katty-e

Статистики принимают, что, когда говорится "случайные подбрасывания", вероятность выпадения орла неизвестна, но априорное распределение равномерное.
Естественно, можно считать, что распределение произвольное, например, функция распределения нормального от точки. Тоже метод, но в данном случае разумный статистик предположит, что параметр равномерен на отрезке.

Sanych

Мне кажется, что для "обычной монеты" это странное предположение. Впрочем, спор этот беспредметен. Я из треда увидел, что на самом деле есть несколько естественных формализаций. А автор кажется не имел в виду ничего конкретного.

Leon64

вероятность будет 50%. Так как тебе не важно сколько раз она падало до этого. На сколько я понял надо найти вероятность просто выпадения, а не того , что она выпадет первые 10 раз на орла, а в 11-ый ...........

Katty-e

Владимир, монета необычная . Нормальные 10 раз на одну сторону не падают.

Leon64

но 2 первых слова - обычная монета.

Katty-e

Все, согласен, проспал. Тогда точно 1/2.

post2225441

Монета абсолютно обычная нормальная.
Если вам много 10 раз, то пусть будет 3 бросания, это ведь не принципиально.
Все три раза выпал орёл. Какова вероятность, что выпадет на 4-й раз тоже орёл?
Варинты: 50%, >50%, <50%.

meles

%

natunchik

Конечно, 50%.
Между прочим вероятность выпадения 0000000000 (0 - орел, единица - решка) точно такая же, как и 1010010110, и любой другой последовательности, и равна 1/1024. Так что говорить, что выпадение орла 10 раз крайне маловероятно, конечно, можно, но следовало бы уточнять - по сравнению с ЧЕМ маловероятно!

Katty-e

Но-но, не стоит так иронизировать. Поверь, я о теории вероятностей знаю много больше тебя .
Вопросов нет, для обычной монеты ответ 1/2.

Katty-e

Есть хорошая теория, которую развивал Колмогоров - о том, какие события разумно рассматривать в качестве вероятных, реально происходящих. На твою фразу он бы ответил глубокомысленным "Не совсем так". Или как-нибудь иначе, я с ним никакого общения не имел, естественно.

stm7543347

Речь не о выпадении орла десять раз, а о выпадении его же в одиннадцатый.
Насколько я знаю статы... вы, ребята, педанты. Если идеальую монету бросить одиннадцатый раз, то вероятность 1/2.
В задаче, сколько я понимаю, речь о том, что пора рассматривать гипотезу о далёкой неидеальности монеты.

spiritmc

Чему равен синус "пипополама" в военное время?
Единице или больше?
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Sanych

Если обращаться к авторитетам, то наш лектор упоминал такой способ отличить по-настоящему случайные последовательности от тех, которые придумывали студенты по его заданию (из головы и без монетки). В настоящих случайных последовательностях длинные одинаковые куски бывают, а в выдуманных их не было.

stm7543347

В настоящих случайных последовательностях длинные одинаковые куски бывают
Только они бывают не раньше 2024-го года, а не сейчас прямо.

Sanych

1111001011111100000001100
001111101110000101100011011010
110011111110111101111111000000
Бросать монету и записывать лень, но я думаю результаты будут аналогичными (куски по 5-7 одинаковых цифр вполне нормальное явление).

ddeev

Полностью с тобой согласен, длинные одинаковые куски в этой последовательности еще не говорят о том, что вероятность не равна 1/2. К тому же при 10 выбрасываниях монеты трудно заметить эффект закона больших чисел.

stm7543347

Флудеры...

zuzaka

Блин, народ, вы реально обсуждаете вопрос совсем не с правильной стороны. Вероятность падения монеты - это базовая, _чисто_ экспериментальная вероятность. Ее в принципе никак нельзя посчитать. Напротив, она считается эталонной.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: