Задача по планиметрии

tester1

Медианы АР и BQ треугольника АВС пересекаются в точке D. Найти длину отрезка АВ, если CD= [math]$\sqrt{12}$[/math] и известно, что вокруг четырехугольника PCQD можно описать окружность.

surm1988

Вроде так:
PQ — средняя линия треугольника ABC, поэтому AB = 2PQ и можно искать PQ. Проведем из точки Q прямую, параллельную AP. Точку пересечения этой прямой с CD обозначим через K. Тогда треугольники QKC и ADC подобны, и DK = KC. QK || DP по построению, а PK || DQ как средняя линия треугольника BDC. Значит, DPKQ — параллелограмм, и диагонали в нем равны. Поэтому PQ = DK = 0.5*sqt(12).
Ответ: AB = sqrt(12).

tester1

Тогда DK = KC,

почему?
и значит K — центр описанной около PCQD окружности
почему? нигде ведь не сказано, что DC - диаметр?

ruslan80

Пусть PQ и CD пересекаются в точке O. O делит PQ пополам, а CO:OD=3:1 (CO - половина медианы, проведенной из С, CD - две трети). PO*OQ=CO*OD => PQ/2=CD*sqrt(3)/4. AB=2*PQ=CD*sqrt(3)=6
Как-то так.

DEESSE

Или так:
Пусть CD = 2x, AD = 2y, AC = 2a. Из подобия тр. APQ и ADC следует PQ/2x = a/2y . Из подобия ADQ и APC следует 2a^{2} = 6y^{2} . AB = 2PQ = 6.

surm1988

 

    
    Тогда DK = KC,
почему?
Из подобия треугольников (дописала в решение) или по теореме Фалеса.
 

    и значит K — центр описанной около PCQD окружности
почему? нигде ведь не сказано, что DC - диаметр?
Это был художественный домысел :)
Где-то в моем решении ошибка: ответ неправильный, и то, что вокруг четырехугольника можно описать окружность, не используется. Но я сейчас не вижу, где :(

Irina_Afanaseva

Одна медиана фактически дана.
вводим 5 неизвестных величин: две оставшиеся медианы и три стороны.
5 независимых соотношений: 3 медианы выражаются через стороны,
а окружность используем для применения теоремы о равенстве произведений секущих, проведённых из точки,
для точки А и для точки В.
Решаем систему.
Это просто:
1. Реально она линейна относительно квадратов неизвестных величин.
2. Равенство секущих даёт пропорциональность 4/3 между квадратом стороны и той неизвестной медианой, которая выходит из той же вершины и сечёт окружность. То есть окружность позволяет свести задачу к трём линейным соотношениям между квадратами сторон.
3. Стороны а=СВ и b=СА в приведённую систему входят только в комбинации a^2+b^2.
Ответ с=6.

karim

это дял репетиторства за 1000р в час надо? :grin:

Yansloka

меня смущает твое утверждение "в параллелограмме диагонали равны"

surm1988

Точно :) Спасибо!

Vlad128

По ходу дела конечно получаем равнобедренность, CA=CB
не обязательно

Irina_Afanaseva

По ходу дела конечно получаем равнобедренность, CA=CB
не обязательно
спасибо, поправил

Suebaby

вот решение, вроде красивое
1. Продлим CD вдвое до точки E.
2. A, B, C и E очевидно лежат на одной окружности (в 2 раза больше исходной)
3. Пересечение CE и AB обозначим за R. R делит CE в отношении 3:1, а AB пополам.
4. Поэтому (AB/2)*(AB/2)=(sqrt12/2)*(sqrt12*3/2). Отсюда AB=6

tester1

Всем спасибо!
Есть вопрос по этому решению:
2. A, B, C и E очевидно лежат на одной окружности (в 2 раза больше исходной)
а как обосновать это "очевидно?"

Suebaby

а как обосновать это "очевидно?"
гомотетией с центром в т. А и коэффициентом 2
старая окружность перейдёт в эту

tester1

может в т. С?
И как доказать, что перейдёт?

Vlad128

гомотетия переводит окружность в окружность, окружность определяется тремя точками, точка остается на прямой, соединяющей ее с центром гомотетии, из этих свойств следует.

tester1

о, отлично, теперь всё предельно понятно :)

incwizitor

вот решение, вроде красивое
пейнт прокачиваю :grin:
вроде такого решения не было

tester1

Тоже красивое решение :)

incwizitor

Тоже красивое решение
вот освою фотошоп - еще красивее будет :grin:

Vlad128

качни geometer's sketchpad, тоже неплохо. А еще можно под джава-движок интерактивчики делать.

incwizitor

качни geometer's sketchpad
ну их в болото :mad:
The free version of Sketchpad lets you run 20-minute sessions with the print, save, copy, and paste functions disabled. Once you've downloaded Sketchpad, check your email for helpful tips and access to free training.

Suebaby

вроде такого решения не было
короче всего, видимо, гибрид: на твоём чертеже почти моё решение
а именно сказать что PO*OQ=DO*OC, т.е. (x/4)^2 = sqrt12*3/4*sqrt12*1/4
ну и всё, x=6
тогда твои рассуждения про углы не понадобятся, и моё доп. построение тоже не потребуется
из проглоченного — только рассуждения о том, в каком соотношении точки D и O делят CR

lenmas

пейнт прокачиваю :grin:
Качок! :grin:

incwizitor

видимо, гибрид
я не использую теорему о хордах, остальные решения опираются на нее

ruslan80

я не использую теорему о хордах, остальные решения опираются на нее
"Теорема о хордах" - это, видимо, утверждение о существовании понятия "степень точки относительно окружности"? Это утверждение через подобие и доказывается. В общем-то, все изложенные здесь решения и есть одно и тоже.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: