Однородный диффур 2-го порядка. Нетривиальное решение.

Brodnik

Товарищи математики!
Че-то жутко туплю над, казалось бы, простым вопросом.
Есть линейный однородный диффур 2-го порядка.
[math][res=130]{\begin{equation*}   V_{yy}+2\frac{H_y}{H}V_{y}-\frac{1}{H}V=0  \end{equation*}} [/math]
разрешив который с нулевыми граничными условиями на бесконечностях, теоретически, можно найти V . При этом функция H(y) — произвольная положительная функция, стремящаяся к константам на бесконечностях.
Соответственно, рассмотрев уравнение выше на бесконечностях, мы приходим к выводу, что там
[math][res=130]{\begin{equation*}   V(y) = СC exp(\mp \frac{y}{\sqrt{H(\pm \infty})})  \end{equation*}} [/math]
где принято во внимание условие обнуления V на бесконечностях.
Исходя из рассуждений выше, единственная возможность, что исходное уравнение имее нетривиальное решение, это
[math][res=130]{\begin{equation*}   V=С\phi_1(y)  \end{equation*}} [/math]
где [math]$$\phi_1(y)$$[/math] — одно из фундаментальных решений исходной задачи, которое убывает на бесконечностях как экспоненты, описанные выше. При этом второе фундаментальное решение [math]$$\phi_2(y)$$[/math] экспоненциально растет на бесконечностях и, посему, выкинуто.
Собственно вопрос, может ли сформулированная задача имет нетривиальное решение. Т.е. может ли [math]$$\phi_1(y)$$[/math] удовлетворять описаным ограничениям.
Интуиция говорит, что это нереально, т.е. мне сложно представить, что фундаментальное решение может перескочить с "одной экспоненты" на "другую".
Заранее благодарен за все идеи и ссылки

lenmas

Это не однородный диффур

Brodnik

слишком быстро отреагировали. не успел исправить опечатки :)

lenmas

Твое предположение с равенством на бесконечности непонятно. Что касается уравнения, то после умножения на Н можно привести к виду (НV)''=(1-H'')V. Ну или после замены U''=U(1-H'')/H. Такие уравнения не решаются в случае общей функции Н, хотя вопросы асимптотики наверное можно выяснять.

Brodnik

 
Твое предположение с равенством на бесконечности непонятно.
Ну, если на бесконечностях H выходит на константы, то dH/dy выходит на ноль. Если еще предположить ограниченнсть производной dV/dy, то приходим к [math]$$\frac{d^2f}{dy^2}-\frac{1}{H(\pm\infty)}V=0$$[/math].
Что касается уравнения, то после умножения на Н можно привести к виду (НV)''=(1-H'')V.

к (НV)''=(1+H'')V, если быть точнее.
Такие уравнения не решаются в случае общей функции Н, хотя вопросы асимптотики наверное можно выяснять.

Что не решаются я, в общем-то, понимаю. Меня больше интересует возможность существования нетривиального решения, в чем я очень сомневаюсь. Наверняка-же такие у-я исследовались в рамках задачи Штурма-Лиувиля. Результаты мож какие есть? Или хоть в какую сторону копать?

lenmas

Ну да, ты прав. А там наверное уже теория рассеяния какая-нибудь, решения Йоста, в общем не помню уже.

Brodnik

Причем, забавная вещь.
Если посмотреть на исходный диффур, как на диффур на H, то он будет 1ого порядка и интегрируется.
Можно на вскидку забить в Maple функцию V(y), удовлетворяющую описанным выше условиям и найти решение H.
[math][res=130]{\begin{equation*}   H(y) = \frac{1}{2\sqrt{|V_y|}}(\int{\frac{V}{\sqrt{|V_y|}}}dy+C)  \end{equation*}} [/math]
Использовалась функция
[math][res=130]{\begin{equation*}   V(y) = \frac{exp(-(1/2)*x)}{1+exp(-x^3)}+\frac{exp(x)}{1+exp(x^3)}  \end{equation*}} [/math]
Блин, кто-нить знает, как в Мапл попросить нарисовать график одного фундаментального решения дифура первого порядка (короче, найти решение, выкинуть константу и нарисовать). А то решение на 2 страницы получается, копипэйст не катит :(

pygar

 ► если на бесконечностях H выходит на константы, то dH/dy выходит на ноль
[math][res=150]$e^{-y^2}\left (2 + \sin\left (e^{y^2}\right)\right )$[/math]

toxin

Зачем так сложно? Достаточно [math]$H(y)=y \rightarrow H_y=1$[/math].

lenmas

Блин, кто-нить знает, как в Мапл попросить нарисовать график одного фундаментального решения дифура первого порядка (короче, найти решение, выкинуть константу и нарисовать). А то решение на 2 страницы получается, копипэйст не катит
Поиграйся сам, присвой C какое-нибудь значение и потом попробуй нарисуй.

Brodnik

 to
если на бесконечностях H выходит на константы, то dH/dy выходит на ноль

ну, я понимаю, что в общем случае это не так. Но в интересующем меня случае, H на бесконечностях ведет себя монотонно и выходит на константу. Ссори, что не уточнил монотонность
 to haliavin
Зачем так сложно?

Ссори, не понял к чему это ты написал.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: