Интегральное уравнение с сингулярным ядром

sprait99

Есть уравнение следующего вида(уравнение Вольтерра с разностным сингулярным ядром):
[math]$$\int_\beta^\infty \frac{C(p)}{\sqrt{p-\beta}} dp = f(\beta)$$[/math]
Функция [math]$f(\beta)$[/math] при [math]$\beta$[/math] стремящемуся к нулю имеет логарифмическую особенность. Требуется определить поведение функции [math]$C(p)$[/math] при p стремящемся к нулю.
Сдается мне, что такие уравнения уже давно исследованы и описаны в соответствующей литературе. Был бы очень благодарен за информацию о том где можно прочитать про асимптотический анализ подобных уравнений.

mtk79

а разве решение данной, конкретной задачи не очевидно без асимптотических разложений и умных методов?

sprait99

Очевидно. Так как слева стоит свертка двух функций, то уравнение можно решить с помощью преобразования Лапласа, если оно существует. Мне же решение не нужно, я хочу зная поведение функции справа в нуле, узнать поведение подынтегральной функции в нуле. И именно потому что задача простая, я хочу чтобы меня отослали к какой - нибудь классической книге.

mtk79

Чтобы лапласить — нужно знать f(вита) целиком, тогда как для решения исх. задачи достаточно лишь поведение в нуле.
Есть книжка Эрдейи "Асимптотические методы". Не уверен, что там будет точно, что надо — но пролистать не помешает.
Для этой задачи проще всего разложить корешок в Тейлора по вита/р и показать, что при соответствующем выборе С(p) интеграл есть ln(вита)+O(вита)
upd: Эрдейи "Асимптотические методы" Эрдейи "Асимптотические разложения" (на нерусском — Erdelyi "Asympt. expansions")

sprait99

За совет спасибо. Правда непонятно как раскладывать корень в ряд, если p на нижнем пределе стремится к вита.

lenmas

Функция C(p) вроде должна быть иметь порядок ln p/sqrt(p) при p->0+, если f(beta) имеет порядок ln(beta) при beta->0+.
Тут можно выразить d(f(1/gamma)/sqrt(gamma/d(gamma) через дробную производную от функции C(1/t)/t^{3/2} порядка 1/2. Соответственно, С(1/t)/t^{3/2} выражается через дробный интеграл порядка 1/2 от d(f(1/gamma)/sqrt(gamma/d(gamma). Правда, как тут заметил выше глупый конец, в общем случае вывести асимптотические свойства из асимптотических свойств дробного интеграла от производной нельзя (легко строятся
контрпримеры как в Демидовиче но можно по крайней мере угадать ответ, который был приведен выше.

sprait99

Спасибо. У меня такая проблема. Когда решаю полную задачу, а потом смотрю асимптотику [math]$C(p)$[/math]то получаю зависимость ~ [math]$\frac{1}{\sqrt{p}}$[/math], когда же анализирую задачу изложенную выше, то получаю [math]$\frac{Log(p)}{\sqrt{p}}$[/math]. Вопрос: Может быть так, что решение задачи не единственно?

mtk79

|ln(p)|=O(p^{\epsilon} \epsilon =любое малое число. Поэтому добавление логарифма не ограничивает общности (C \sim p^{-1/2+\epsilon} но убивает аналитичность С в нуле. Т.е. если дополнительно нужны некоторые соображения аналитичности — то решение C \sim 1/\sqrt{p}

sprait99

Непонятно, как С(p) может быть аналитична в нуле, если она там имеет сингулярность, того или иного вида ?

mtk79

имелась ввиду, конечно, C', определенная как [math]$$C(p)\equiv \frac{C'(p)}{\sqrt{p}}$$[/math]

lenmas

Спасибо. У меня такая проблема. Когда решаю полную задачу, а потом смотрю асимптотику то получаю зависимость ~ , когда же анализирую задачу изложенную выше, то получаю . Вопрос: Может быть так, что решение задачи не единственно?
Ты бы написал, что за полная задача, что за изложенная выше.
Так то конечно может быть, что у тебя есть два фундаментальных решения, имеющих асимптотику с логарифмом и без логарифма. Для дифференциальных уравнений второго порядка это обычное дело.

sprait99

полная задача: Дано интегральное уравнение с [math]$f(\beta) = Log(1-exp(i\beta/2$[/math]. С помощью дискретного преобразования Фурье можно найти выражение для С(p а потом посмотреть асимптотику, то она будет ~ [math]$\frac{1}{\sqrt{p}}$[/math], если же решать задачу асимптотическую то [math]$\frac{Log(p)}{\sqrt{p}}$[/math].

lenmas

Что значит тут применить дискретное преобразование Фурье?
У тебя асимптотика с логарифмом может возникать еще из-за правого конца. Например, если взять C(p)=1/sqrt(p)
на отрезке [0,A] и нуль вне его, то твое преобразование даст
[math]  $$  \int\limits_\beta^A\frac{dp}{\sqrt{p(p-\beta)}}=\int\limits_1^{A/\beta}\frac{dt}{\sqrt{t(t-1)}}=2\int\limits_1^{\sqrt{A/\beta}}  \frac{ds}{\sqrt{s^2-1}}=\ln\Bigl(1+\sqrt{\frac A\beta\Bigl(\frac A\beta-1\Bigr)}\Bigr  $$  [/math]
то-есть тут логарифмическая особенность никакого отношения к асимптотике C(p) в нуле не имеет.

lenmas

Кстати, забавно, что такой же пример с C(p)=ln p/sqrt(p) дает асимптотику ln^2(beta причем главный член асимптотики
как раз из-за правого конца. Асимптотика в нуле вообще оказалась ни при чем :)
Наверное, это не спроста, так как сингулярная особенность при p=beta интегрируемая.

mtk79

это совершенно другая песня. в исх. постановке (ответа) предполагалось, что С(p) убывает достаточно быстро на бесконечности, так, чтобы весь интеграл, например, от 1 до бесконечности, был O(1).

lenmas

Кстати, какое тут будет обратное преобразование к этому? Наверняка, можно найти, как у преобразования Гильберта.

sprait99

это совершенно другая песня. в исх. постановке (ответа) предполагалось, что С(p) убывает достаточно быстро на бесконечности, так, чтобы весь интеграл, например, от 1 до бесконечности, был O(1).
Так и есть.

sprait99

Если правильно понял вопрос, то похоже на интегральное преобразование Абеля: http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_transform

sprait99

Всем спасибо за потраченное время. Похоже, что разобрался.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: