Конформное отображение

shpulya

Народ, подскажите как получить аналитическую формулу для конформного отображения внешности единичного круга на внешность фигуры, уравнение в полярных координатах которой задается ф-ой r=r(phi)?
Например, r=a + b*cos(2*phi)...
Буду ужасно юлагодарен!
А то сижу че-то туплю..

shpulya

Очень надо...

Sanych

Попробуй функцию Жуковского, может всё-таки подойдёт. Она переводит внешность круга во внешность эллипса. У тебя правда вроде что-то другое в примере (хотя точно похоже) -- но про общую формулу я ничего не знаю.

afony

Это не так просто, как кажется. Я думаю, тебе не каждый специалист по конформным отображениям ответит на твой вопрос. То, что это не функция Жуковского - понятно, т.к. действительно линии уровня ее модуля - эллипсы, а это не эллипс. Впору искать не аналитическое, а приближенное решение.
Расскажи подробнее откуда эта задача и зачем она тебе понадобилась. Может тебе нужно меньше, чем ты спрашиваешь.

shpulya

Мне конечно нужен не общий случай, а именно функция отображающая в данном случае внешность круга на внешность фигур: r(phi) = a + b*cos(2*phi) и r(phi) = a +b*cos(3*phi a>b. (дву- и трилистник)
Для эллипса такое отображение конечно известно..а вот для таких вещей..А так, мне надо расположить на ед.круге равномерно по углу точки и найти их образы на данных фигурах..
Если действительно так сложно получить аналитическую формулу, то не подскажешь, как это сделать численно?

nozanin

Численно можно так попробовать, мне кажется.
Взять несколько точек на границе кривой фигуры (по кругу, например).
Взять столько же точек на круге (можно все одинаковые)
Записать первые столько-то членов ряда, который будет конформно отображать.
Решить систему линейных уравнений.
Я бы так сделал и не парился...

yulial

Ну, ещё есть формула, то ли Кристоффеля, то ли Шварца, то ли их обоих (склероз!) для отображения многоугольникофф на полуплоскость или круг (это если считать численно).

nozanin

Да, кстати, она есть в толстом Шабате (не двухтомнике!)...

shpulya

Ок..попробую, но может есчо какие-нить идеи есть?...ех..как давно ето было..

afony

Некоторые идеи есть, но не уверен, что они помогут. Например, если нужно найти конформное отображение внешности лемнискаты (то есть кривой вида {z : |P(z)|=r=const>0}, где P(z) - многочлен n-ой степени ) на внешность круга, то отображение находится просто: это любая
ветвь корня n-ой степени от P(z) во внешности лемнискаты. Под внешностью лемнискаты подразумеваются те точки комплексной плоскости, в которых |P(z)|>r. По-моему твои кривые лемнискатами не являются (хотя известная лемниската Бернулли очень напоминает твой двулистник но прежде чем сказать наверняка, я немного подумаю.
Считать через формулу Кристоффеля-Шварца - гиблое дело. Правда говорят был такой казус:
как-то к Шабату (автору известного учебника по ТФКП) подошел студент и сказал, что долго не мог найти конформное отображение круга в себя, пока не воспользовался этой формулой для отображения круга на правильный многоугольник, а потом перешел к пределу. Возможно это просто байка, но забавно.

shpulya

Угу..-
ех..мне бы внешность круга во внешность двулистника...вообще не думал, что это так сложно оказывается..а ты не в курсе как можно было б это дело численно проделать?

afony

К сожалению, пока ничего лучшего неких модификаций формулы Кристоффеля-Шварца я не нашел. Могу посоветовать две хорошие книги, в которых освещены некоторые вопросы нахождения конформных отображений: Лаврентьев, Шабат "Методы ТФКП"; Голузин "Геометрическая ТФКП". Если ты хорошо разбираешься в классическом курсе ТФКП, то читать их несложно и даже интересно (мне по крайней мере). В этих же книгах есть ссылки на статьи по данной теме.
У меня есть некие подозрения о том, как можно найти те точки, которые ты ищешь. Но доказательства верности алгоритма у меня нет (это лишь догадка). Найди на своей кривой n точек на которых достигается максимум произведения попарных расстояний между ними
(попарных расстояний - n(n-1)/2 штук). Есть сильное подозрение, что по крайней мере ассимптотически они будут образами вершин правильного n-угольника при конформном отображении. Какая-то связь между этими наборами точек есть наверняка.

shpulya

ок..огромное тебе спасибо за консультации!

afony

Пожалуйста. Только ты все же дай знать, получилось у тебя что-нибудь или нет. Мне уж самому интересно стало.

shpulya

Пока не могу ничем похвастаться..если что, скажу!
З.Ы. Если у кого-нить есть идеи буду очень признателен..

shpulya

уп
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: