[функан] Доказать, что S плотно в L_1(R) и в L_2(R)

NHGKU2

как?
Здесь S = {f\in C^\infty: sup_{R} |x^p f^{(q)}(x)|<\infty; p,q = 0,1,2,...}

naami_moloko

Хм, а словами - что есть S ?

NHGKU2

Пространство быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций

naami_moloko

Пространство финитных бесконечнодифференцируемых функций D плотно в S, в L1 и L2 => утверждение?

a7137928

Стандартный метод такой: рассмотреть известное множество функций, всюду плотное в указанном пространстве (L1 или L2 и каждую функцию из этого множества с любой точностью приблизить функциями из S. Такие известные множества должны быть описаны в КоФо.
если руки дойдут, то напишу конкретно

NHGKU2

А почему D плотно в L_1 и L_2?

primus

На самом деле S секвенциально плотно даже в пространстве распределений D' (более того: там плотно D). Этот факт не тривиален, хотя он нетрудно доказывается с помощью аппарата свёрток. Все "разумные" пространства (в частности L_1 и L_2) каноническим образом вкладываются в D'. Далее остаётся показать, что из сходимости функций в топологии D' следует их сходимость и в L_p.
Можно по-другому. В L_1 и L_2 плотно пространство простых функции (счётные линейные комбинации индикаторов непересекающихся множеств). Идникаторы в свою очередь можно приблизить финитными гладкими функциями из D с увеличивающейся точностью. Тогда и D \subset S будет плотно в L_p.

NHGKU2

Спасибо.
Осталось только найти такое "известное множество функций"
Может быть, это самое D подойдёт? В К-Ф не нашел...
Кстати говоря, в К-Ф этот факт (что S плотно в L_1(R) и в L_2(R используется при доказательстве теоремы Планшереля, но сам по себе не доказывается

NHGKU2

Можно по-другому. В L_1 и L_2 плотно пространство простых функции (счётные линейные комбинации индикаторов непересекающихся множеств). Идникаторы в свою очередь можно приблизить финитными гладкими функциями из D с увеличивающейся точностью. Тогда и D \subset S будет плотно в L_p.
О, по-моему, то что нужно
Спасибо, сейчас попробую аккуратно это проследить.

naami_moloko

>А почему D плотно в L_1 и L_2?
Из теоремы компактного вложения пространств Соболева
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: