Поступление требований в систему, пуассоновский процесс

hatiz18

Пусть N(t) пуассоновский процесс (число поступивших в систему требований за время t) с интенсивностью Л(t то есть P{N(t)=N}=(Л(t^N/N!exp{-tЛ(t)}. Pассматриваем промежуток времени T фиксированный. Предположим, что N(T)=N дано. Моменты поступления требований в систему – (S(1…,S(N. Утверждается, что распределение этого вектора совпадает с распределением порядковой статистики (S[1],…,S[N]) с функцией распределения G(t)=INT_0^t(Л(s)ds)/INT_0^T(Л(s)ds 0<=t<=T, G(t)=0, t<0, G(t)=1, t>T.
Почему это так? Совпадение распределений случайных векторов следует из независимости компонент, но как получена функция?

Vlad128

Эта функция G должна характеризовать распределение каждого из независимо распределенных S[j], я правильно понял?

hatiz18

   Да.

Vlad128

Тогда это можно показать, если рассмотреть пуассоновский процесс как пуассоновское поле на прямой с мерой [math]$\mu([a,b]) = \int_a^b \Lambda(t)\,dt$[/math].
Пуассоновское поле — это случайная мера, обладающая свойством хаотичности (независимость nu(A) и nu(B) при условии что A и B не пересекаются) и тем, что распределение [math]$\nu(A) = \Pi(\mu(A$[/math], где \Pi — пуассоновское распределение.
Дальше, необходимое утверждение выводится отсюда: если количество точек на отрезке распределено по пуассону (с параметром \mu([a,b] а сами точки далее распределены по G, то число точек, попадающих на любой отрезок [c,d] \subset [a,b] будет как раз распределено по пуассону с соответствующим параметром \mu([c,d]). Т.е. получим пуассоновское поле.
Этого достаточно, или необходимо полностью строгое доказательство? Просто воспроизвожу по памяти. Скорее всего есть в книге Ширяев Булинский. Возможно, для частного случая однородного поля (лямбда = const).

hatiz18

Так G - не распределение числа точек, это распределение момента появления некоторого требования из многих в нашей системе?...

Vlad128

ну да, каждая из точек распределяется независимо с распределением G, а их число — по пуассону. В итоге получаем пуассоновский процесс.
В частном случае lambda=const получается известный факт: чтобы моделировать пуассоновский процесс (с постоянной интенсивностью) на заданном интервале надо промоделировать пуассоновскую величину, число точек, а потом каждую из точек раскидать равномерно и независимо на этом интервале.

hatiz18

А как хотя бы для постоянной Л(t)=const доказать, что имеет такой вид? Может, по аналогии пойму и как доказать для переменной?

Vlad128

Там не надо аналогии, там заменой времени [math]$\tau = \int_0^t \Lambda(s)\,ds$[/math] все прямо сводится к однородному полю.
А чем не устраивает приведенное выше? Если необходимо строгое доказательство, то я посоветовал книжку, у меня ее под рукой нету, к сожалению.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: