Помогите, пожалуйста, с идеей решения...

olsena

Эллипс катится по окружности. Требуется расчитать и построить огибающую, внутри которой находится эллипс в любой момент времени. Параметры: длинна окружности равна периметру эллипса, отношение осей эллипса - 1 к 2-м.

Sergey79

Мб есть и элегантное решение, но в лоб -
это записать при некотором угле phi (окружность в центре координат, полярные к-ты) максимально удаленную точку (A) эллипса, касающегося в точке с к-тами (r0,phi где r0 - радиус окр-ти. Ее координаты A=A(rho(phialpha(phi. Тогда rho=rho(phi(alpha - это и есть ур-ние кривой в полярных к-тах rho(alpha).
При этом учесть, что в начальный момент эллипс "стоит" на "вершине окружности", и угол "поворота" эллипса таков, что длина его дуги от текущей точки касания до начальной равна соотв. дуге окр-ти.
Так мы получаем что в точке касания эллипс расположен не произвольно, "повернут" на угол, также являющийся однозначной функцией угла phi. Нам достаточно построить кривую в первой четверти, остальные части будут симметричны относительно отражений.

olsena

большое спасибо за помощь

fift

Я не понял идею решения.

olsena

неправильно там
ап

malanecz

может рассмотреть как окружность катается по элипсу?так наверно проще будет,или так не получиться?вобщем это первое что пришло в голову

seregaohota

Эллипс катится по окружности. Требуется расчитать и построить огибающую, внутри которой находится эллипс в любой момент времени. Параметры: длинна окружности равна периметру эллипса, отношение осей эллипса - 1 к 2-м.

По-видимому решится только численно. Ну по крайней мере длина дуги эллипса в элементарных функциях не выражается.
Если бы длина эллипса не была соразмерна с длиной окружности, то огибающая была бы окружностью радиуса R+2a очевидно.
Надо написать уравнения псеудокардиоид, которые будут описывать точки эллипса. Так как параметризация не принципиальна - я бы взял механическую интерпретацию - псевдоугловую скорость точки касания эллипса и окружности q положив =const=1 (полный оборот за T=2\pi). Тогда для момента t точка касания находится в положении x=R \cos t, y=R \sin t, пройдя дугу C=Rt. Из условия непроскальзывания ищется точка на эллипсе, до которой расстояние по дуге эллипса равно C - обращается соответствующий интеграл как функция угла например (берём эллипс в его родной канонической системе):

x = a \cos \phi
y = b \sin \phi
\int_0^{phi} \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2} = C

Получаем функцию \phi=\phi(C). Может спецфункции есть эллиптически - лень смотреть. В любом случае реализовать численно на c++ скажем это не проблема. Я по крайней мере смогу написать.
Дальше, имея угол \phi численно или аналитически мы считаем нормаль к эллипсу в его родной системе координат в этой точке, это не проблема. Далее, эта нормаль по отношению к исходной окружности имеет координаты [-\cos t, -\sin t], значит мы имеем на этот момент ориентацию эллипса и положение одной его точки - положение всех точек восстанавливается (поворот + сдвиг, через ортогональную матрицу пишется).
Значит мы знаем на этот момент t положение всех точек => мы знаем траектории точек, запараметризованные t_2 - моментом касания этой произвольной точки эллипса с окружностью:

x = x(t,t_2)
y = y(t,t_2)

.
Нужное тебе множество является огибающей этого семейства. Смотри как пишется уравнение огибающей, там ещё производные по параметру параметризации вылезут.
Второй метод, если задача численно решается - искать для каждого луча из центра окружности искать max_{i=0..n} R(\alpha, i) на каком расстоянии на этом луче пройдёт каждая точка эллипса из заданного дискретного набора (n точек на эллипсе взяв).
PS А вообще литература по предмету должна быть, вроде даже видел где-то в популярщине, что область довольно сложная про ГМТ заметаемые при движении плоских тел, + инженерная лит-ра в какой-нибудь области теории механизмов и машин, может там ссылки есть на науку. Я знакомых поспрашиваю, если не забуду - может что знают.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: