помогите решить задачу по матану 1 курс

elena_364

найти n-ю производную в нуле от функции (x+sqrt(1+x*x
Ответ: 0, если n четное.

если n нечетное.
Нужно решение.
Плиз, очень надо до зачета до 13 часов 27-го числа. За вознаграждение.

ARTi

если n - четное, то 0 - т.к. функция четная (x не считается, т.к. убьется при первом же дифференцировании)

ARTi

а вообще разложи в ряд Тейлора, тогда коэффициент при x^n есть значение (n+1)-ой производной в нуле

elena_364

спасибо большое, сейчас попробую

elena_364

не получается ничего. помогиите! кто-нибудь может завтра с 10 до часу позаниматься и объяснить это? звонить 446 19 35, до 24-х или утром. спросить Машу.

oleole

Молодые люди, помоги девушке срочно!
Позор!
Не академикам же за это браться...

ARTi

А что тут непонятного, расписываешь
(1+y)^\alpha = 1 + y * \alpha + y^2 * \alpha *(\alpha-1) / 2! + ...
для y = x^2 и \alpha = 1/2
Всё ДОЛЖНО получиться

_mrz

а вообще разложи в ряд Тейлора, тогда коэффициент при x^n есть значение (n+1)-ой производной в нуле
гы гы
не угадал
коэффициент при x^n есть значение n-ой производной в нуле деленной на n!
это совершенно очевидно если сделать почленное дифференцирование ряда.
ботать матан первого курса срочно

NHGKU2

Да, похоже, что-то напутала.
Нулевыми будут все нечётные производные (кроме первой, равной 1 а чётные, по моим подсчётам, оказались равны y^{(2n)}/(2n)! = (-1)^n (2n-3)! / (2n)! , т.е. y^{(2n)} = (-1)^n (2n-1) 2n-3)!)^2, n>1.

lenmas

Попробуй так: продифференцируй f(x)=\sqrt{1+x^2} по x один раз, потом умножь на 1+x^2, чтобы убить корень, который ушел в знаменатель. И это все делай, оставляя f(x) в левой части именно в такой записи. Потом берем производную от левой и правой части еще раз и замечаем, что в правой части стоит производная f(x) с коэффициентом типа x или x^2. В общем, получаешь соотношение между производными f(x) первой, второй и нулевой. У меня получилось:
 [(1+x^2)f'(x)]'=f(x)+xf'(x)
Ну все, теперь дифференцируем по правилу Лейбница n раз левую и правую часть (там от формулы Лейбница останется два, максимум три слагаемых подставляем x=0 (останется еще меньше слагаемых) и получаем рекуррентное соотношение между (2n)-ой производной в нуле и (2n-2)-ой производной. Спускаешься по этой формуле до нулевой производной, которая понятно чему равна. Похожим методом решаются эти задачи в Антидемидовиче. По поводу любителей раскладывать в формулу Тейлора, так не пройдет в случае f(x)=arcsin^2 x, хотя предложенным выше методом здесь тоже получается хороший ответ.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: