Вычислить интеграл

prodeo

интеграл в смысле главного значения по Коши пересчитываю уже третий раз, не сходится с тем, что результат должен быть нечетной функцией. Больше не могу, доброфорумчяне, помогите пожалуйста!
[math]  $$  \int_{-1}^1\frac{du}{(1+u^2u-z)\sqrt{1-u^2}}\left(-1+\frac{\sqrt2}{1+u^2}\right)  $$  [/math]

savilovsn

Сообщение удалил

dunkel68

кто сказал, что результат должен быть нечётной функцией?

prodeo

Подынтегральное выражение, не считая ядра Коши - четная функция, поэтому интеграл должен быть нечетной функцией z.

prodeo

считать лень
:(

lenmas

Подынтегральное выражение, не считая ядра Коши - четная функция, поэтому интеграл должен быть нечетной функцией z.
С какого это перепоя?

prodeo

Пусть f(u) - четная функция. рассмотрим функцию
[math]  $$  g(z)=\int_{-1}^1\frac{f(u)\,du}{u-z}.  $$  [/math]
Покажем, что g(z) - нечетная функция.
[math]  $$  g(-z)=\int_{-1}^1\frac{f(u)\,du}{u+z}=\int_{-1}^1\frac{f(-u)\,du}{-u+z}=-\int_{-1}^1\frac{f(u)\,du}{u-z}=-g(z)  $$  [/math]
Для получения второго равенства сделана замена u на -u под интегралом.
ребят, спасибо вам за апанье, конечно, но если не знаете, что такое интеграл - не пишите лучше :crazy:

lenmas

Гм, действительно. Просто привык, что интеграл Коши равен обычно функции плотности.
Тут же интеграл типа Коши, а у него может быть много хитростей.
Тогда рассказывай, как ты его считал. Непонятно, почему ты считаешь в смысле главного значения.
Ведь у тебя z не принадлежит [-1,1]? Ты учти, что значение при z в [-1,1] в смысле главного значения
может быть никак не связано со значениями вне этого отрезка, там лишь есть соотношение с пределами
сверху и снизу от этой точки.

prodeo

Заменяю интеграл в смысле главного значения на интеграл по контуру с обходом особенности. При этом к интегралу добавляется чисто мнимое число, которое потом выкидываем. Интеграл от квадратичной рациональности стандартной подстановкой приводится к интегралу от дробно-рациональной функции, который вычисляется вычетами.
подстановка:
[math]  $$  u=(t^2-1)/(t^2+1)  $$  [/math]

prodeo

Ведь у тебя z не принадлежит [-1,1]
Принадлежит.
зы. если не принадлежит, что от этого изменится? просто обычный интеграл.

lenmas

зы. если не принадлежит, что от этого изменится? просто обычный интеграл.
Не, там очень большая разница. Грубо говоря, между этими значениями есть только соотношение, что
интеграл в смысле главного значения равен полусумме предельных значений с одной и с другой стороны
от контура. Ни о какой непрерывности не идет речи. Сейчас подумаю еще над твоим вычислением.

lenmas

Заменяю интеграл в смысле главного значения на интеграл по контуру с обходом особенности.
Подробнее можешь объяснить этот момент?

prodeo

[math]  $$  \frac1{u-z-i0}=\mathop{\rm V.p.}\frac1{u-z}+i\pi\delta(u-z)  $$  [/math]

lenmas

Не, мне не надо обобщенные функции, я про контуры спрашиваю, можешь даже словами объяснить, не
надо никаких картинок.

lenmas

Мне кажется, тебе проще честно взять интеграл от -1 до z-epsilon и от z+epsilon до 1, и честно посчитать эти
два интеграла безо всяких вычетов, раз у тебя есть замена, берущая эти интегралы. Зачем тебе эти обходы
по полуокружностям? Они в данном случае ничего не дают.

prodeo

Это формула Сохоцкого, связывающая интеграл в смысле главного значения с интегралом по контуру с обходом полюса.
На второй пост: вычетами значительно проще. Чтобы это понять, надо хотя бы 1 раз посчитать интеграл так и так. Если ты этого не делал никогда, ну как это объяснишь :confused:
На все последующие посты, видимо, ответ можно дать один: http://lib.mexmat.ru/books/128

lenmas

Это формула Сохоцкого, связывающая интеграл в смысле главного значения с интегралом по контуру с обходом полюса.
На второй пост: вычетами значительно проще. Чтобы это понять, надо хотя бы 1 раз посчитать интеграл так и так. Если ты этого не делал никогда, ну как это объяснишь :confused:
На все последующие посты, видимо, ответ можно дать один: http://lib.mexmat.ru/books/128
Вообще-то я комплан знаю очень хорошо, именно поэтому такие вопросы и задаю :)
Ты можешь все-таки объяснить какие ты там контуры берешь и что вообще делаешь, кроме
как формулы Сохоцкого, про которую я тебе и писал выше тоже? Ты просто делаешь скорее
всего правильно, но нужно понять, что это правильно.

prodeo

Вообще-то я комплан знаю очень хорошо, именно поэтому такие вопросы и задаю
твои вопросы внушают подозрение :o Вот, если ты не против, крохотусенькая проверка: в какого рода задачах возникают такие интегралы? (они очень характерные).

Vlad128

а вы уверены, что это корректная проверка знания именно комплана, а не какой-нибудь там предметной области?

prodeo

Да.
А что является проверкой, умение раскладывать в ряды Тейлора? Чтобы взять интеграл, конечно, не надо знать, какая задача приводит к его появлению, но про комплан не я начала говорить.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: