Что можно вычислить, зная функцию распределения?

ETrohkina

Ну у меня есть функция распределения напряжений на одинаковых волокнах (можно считать, что это силы приложенные к одинаковым нитям).
Есть мат. ожидание = среднее напряжение на волокне (ф-я непрерывная, т.е. там интегральчик по напряжение*плотность_распределения). Есть дисперсия = среднее отклонение.
Что ещё можно вытянуть прикольненького из тервера, зная функцию распределения?

plugotarenko

Не очень понял вопрос.
Если ты знаешь ф.р. случайной величины, то, значит, ты знаешь о ней "всё".

ETrohkina

вот это всё и хочется выяснить
пока тока на ум пришло мат.ожидание и дисперсия.
я не открытий прошу, а немного ликбеза =)

plugotarenko

Квантили, мода, моменты, медиана.
мода - локальный максимум плотности.(я понял, что у тебя есть плотность)
момент - математическое ожидание \ksi^n
медиана - точка x, где P(\xi<=x)>=1/2 и P(\xi>=x)>=1/2

ETrohkina

ну у меня плотность берётся как производная от фунции распределения.
n-й момент вводится, как интеграл от (шняги в степени n). т.е. мат ожидание - это 1-ый момент.
а физический смысл медиан всяких там, и пр. не знаешь? =)

ETrohkina

вообщем ты меня убедил взять книжку в руки. стока интересного

plugotarenko

Медиана - это точка, справа и слева, от которой вероятность одна вторая. (Некая середина)
Мода - это локальный максимум плотности, то есть вероятность попасть в окрестность моды больше, чем вероятность попасть в окрестность другой точки.
А вообще, с физическим смыслом у меня всегда туго было.

a7137928

Скажи, чего бы ты вообще мог хотеть, а то беспредметно как-то.

a7137928

Про физ. смысл.
0) мат.ожидание, дисперсия - это понятно, наверное
1) медиана. Ее ввели вообще в матстате, по-моему, как характеристику выборки. В принципе, это то же, что и мат.ожидание по смыслу, но для определенных видов распределений она дает более объективную характеристику. Например, если у распределения "тяжелые хвосты", то есть велика вероятность "выбросов" (значений, сильно отличающихся от среднего и ты возьмешь мат.ожидание выборки, то оно будет сильно смещено относительно истинного мат.ожидания распределения (на маленьких выборках). Медиана же менее чувствительна к выбросам.
Пример распределения с легкими хвостами: нормальное
С тяжелыми: лог-нормальное, если не ошибаюсь. Распределение Коши тоже.
2) асимметрия (центральный момент третьего порядка) - характеризует симметричность распределения
3) эксцес (центр. момент четвертого порядка) - характеризует степень выраженности хвостов
4) мода. Если распределение имеет много мод, то, опять же, мат.ожидание от выборки не даст представления о характере распределения.
Еще, зная ф.р., можно, например, исследовать скорость сходимости к нормальному распределению в ЦПТ.
Еще есть такая замечательная штука, как анализ максимальных значений. Зная ф.р., ты можешь определить, какое распределение будет иметь максимальная (минимальная) величина в выборке из данного распределения. Есть всего три больших класса распределений, являющихся предельными для максимумов (минимумов).

ETrohkina

у меня есть партия из N одинаковых волокон. они рвутся при критическом напряжении сигма, напряжения разрыва волокон распределены по закону Вейбула (Вейбуловское распределение. функцию писать не буду). т.е. первое волокно рвётся при сигма1, второе при сигма2 и т.д.
В задаче у меня порвалось k волокон (k<N). Мне надо посчитать работу (всё константа, тока напряжения разрыва распределены по закону)
В статьях всяких, которые я юзал, взяли мат.ожидание. т.е. среднее напряжение и посчитали, таким образом, среднюю работу.
А мне вот хочется не среднюю
Ну и ещё много чего хочу, но пока не обдумывал чего конкретно =)

ETrohkina

всё не асилил пока. заинтересовало про хвосты.
у меня такая ф-я распределения F(x)=1-exp(-ax")
a - константа
x" - икс в степени " (" - константа какая-то)
сорри зарусский
у этой ф-ии как вааще хвосты? обычное мат ожидание можно брать?

a7137928

Хвосты у ней, очевидно, убывают экспоненциально
То есть, хорошие хвосты, маленькие.
Про критическое напряжение - сейчас гляну спецкурс.

plugotarenko

Легкость, тяжесть можно только сравнивать.
У нормального плотность e^{-x^2}.
Такчто если у тебя степень в експоненте больше двух, то хвосты точно "легкие".
У распределения коши плотность убывает как 1/x^2. По сравнению с ним у любого из твоих хвосты легкие.

ETrohkina

ток я немного налажал. у меня конечное число волокон, а распределение непрерывное. т.е. это распределения для каждого волокна. а не так, что для одного одно значение, для второго второе...

a7137928

По-моему, если хвосты убывают экспоненциально, то они считаются легкими в том смысле, что тяжесть хвоста [a, +infty] отличается от тяжести [a+b, +infty] существенно.
Хотя это, конечно, как посмотреть. В любом случае, верно следующее: если показатель экспоненты >= единицы, то можно указать константу С=C(b) такую, что вес [a, +infty] будет больше веса [a+b, +infty] в С раз вне зависимости от а.
Пелот: смотри формализацию.
A - работа, создающая напряжение Н(А).
F - функция распределения прочности волокон. Если прочность волокна меньше напряжения, то оно рвется.
Имеется N волокон. Вопрос: сколько из них порвется при данном напряжении Н(А).
Обратная задача. Порвалось К волокон, какое было напряжение.
Правильно я понял?

ETrohkina

A - работа, создающая напряжение Н(А).
F - функция распределения прочности волокон. Если прочность волокна меньше напряжения, то оно рвется.
Имеется N волокон. Вопрос: сколько из них порвется при данном напряжении Н(А).
Обратная задача. Порвалось К волокон, какое было напряжение.
Напряжение задано, всмысле его я просчитаю из краевой задачи упругости.
вопрос скорее первый, т.е. сколько порвётся при данном напряжении H.
Про работу, забей. у меня другая. т.е. волокно сидит в матрице (упругой среде) его тянуе и оно рвётся на глубине L (столб вкопаный в землю. столб - волокно, земля - матрица. например.) Моя работа, это работа сил вытягивания, она легко считается интегрируя по длине напряжения помноженные на L и коэфф-т трения.
Вся работа - это сумма работ всех порвавшихся волокон.
Т.е. мне надо знать ответ на первый вопрос, т.е. сколько волокон из N порвётся при заданном напряжении.
вообще это заданное напряжение у меня скорее всего будет функцией от N. Ну пусть сначала это напряжение будет константой для всех N волокон

a7137928

Ну тады лови.
Лебедев Алексей Викторович, каф.ТВ мехмата, читал с/к "Экстремумы случайных процессов".
Базовая книга: Лидбеттер, Линдгрен, Ротсен, "Экстремумы случайных последовательностей и процессов", Москва, Мир, 1989.
Кратко суть происходящего (извини что на смеси английского, так быстрее):
Consider the seq {x_n, n=1..N} of random values with distribution function F. Let M_N= max(x_1..x_N)
We want to know the distribution of M_N given N. It's easy:
P{M_N<=t}= P{x_1<=t, ... x_n<=t} = (F(t^N because x_1..x_N are independent.
Now we wanna know the asymptotic properties of M_N.
Let x_F= sup{x: F(x)<1}. Maybe x_F=+\infty. (x_F is the "maximal possible value" given distribution F)
Then it is obvious that M_N -> x_F when N->\infty. Hence, we need to normalise maximums M_N somehow, otherwise we'll not be able to investigate their distributions.
Normalization: we want to find sequences (a_n (b_n) and distribution G(x) with the property:
P{a_n(M_n-b_n)<= x} -> G(x) when n->\infty
in other words,
F^n(x/a_n + b_n) -> G(x)
Распределение Же может быть вырожденным, это плохо. Есть теорема Гнеденко о том, что при определенных условиях на Эф существуют послед-ти а_эн и б_эн такие, что G(x) - невырожденная.
Другая теорема (центральная в этой науке, "теор. об экстремальных типах"). Есть три типа (невырожденных) предельных распред. для максимумов: тип Гумбеля, тип Фреше и тип (угадай кого ) Вейбулла.
Gumbel: G_1(x) = exp(-exp(-x
Frechet: G_2 = exp(-x^(-c c>0 - const, x>0
Вейбулл: G_3(x) = exp(- (-x)^c x<0, c>0
В книге даны всякие примеры-теоремы (крит. Мизеса, например как определить, к какому из типов будут стремиться максимумы твоего распределения. Все константы (a_n, b_n, c) определяются опытным путем (подбираются).
А теперь - конкретно то, что тебе надо: распределение к-х максимумов.
М_N is the first maximum.
M_N^{(2)} = max of x_1..x_N with M_N excluded - second maximum
M_N^{(3)}= max{x_n, n=1..N: x_n<= M_N^{(2)} } - third max
etc.
Theorem. If P{a_n(M_n-b_n)<= x} -> G(x then
P{a_n(M_n^{(k)}-b_n)<= x} -> G(x) * \sum_{i=0}^{k-1} \frac { (-ln G(x^i } { i! }
Вот, собственно, и все. Если M_N^{(k)} < H, то k из N волокон порвутся под напряжением Н.

ETrohkina

во, спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: