Вариационная производная от градиента функции

RoHaN

Подскажите чему равна вариационная производная по F от dF/dr?

mtk79

А что Вы называете вариационной производной?

Sergey79

я б сказал что 0, так удобнее. А уже под ответ подобрал бы соотетствующее определение вариационной производной.

RoHaN

Возможно правильней сказать "функциональная производная" ? или "вариация dF/dr по F"?

RoHaN

я б сказал что 0, так удобнее.
я немного не уверен что это правильный ответ

griz_a

Так и не понял твоих обозначений

RoHaN

Надо найти экстремум следующего функционала:

для этого его надо проварьировать по Ф.
Вопрос: чему равна эта вариация?

griz_a

Если вопрос "как решать такую экстремальную задачу", то сходу не скажу - когда варьируемый параметр есть и в числителе и знаменателе, то все не очень хорошо.

RoHaN

то сходу не скажу
можно не сходу :-)

griz_a

там, наверное, начальные условия есть еще, да и не факт, что остальные слагаемые будут максимизироваться при той же Ф

lenmas

Ну подставляй вместо \Phi выражение \Phi+\lambda\delta\Phi, и дифференцируй по \lambda при \lambda=0. Полученное выражение (линейное по \delta\Phi) и будет вариационной производной. Только там еще обычно избавляются от частных производных \delta\Phi с помощью интегрирования по частям, но там нужно учитывать граничные условия (либо считать, что \Phi финитная в области). В общем, берешь любой учебник по вариационному исчислению, например, Алексеев-Галеев-Тихомиров, и ищи вычисление вариационных производных (возможно, там встретится выражение "производная (или дифференциал) Гато", это то, что я тебе описал).

vovatroff

Или можно просто формально проварьировать
эту дробь, действуя оператором \delta точно так же, как
символом дифференциала:
d(u/v) = (vdu-udv)/v^2
Потом преобразовать вариации \delta (nabla Ф) в вариации \delta Ф
интегрированием по частям. Громоздко, но что-то получится.

mtk79

ну это уже лучше: в первый раз "вариация" искалась не от квадрата градиента, а от градиента (вектор-функции).
2. что Вы считаете вариацией (как определяете, а не называете Вы так и не сообщили
3. видно, что это тейлоровское разложение чего-то. Когда Вы разлагаете в ряд (локальная хар-ка а потом интегрируете (глобльно) — то может получиться заведомая лажа (например, интеграл от e^{-x} от 0 до +беск. существует, а от первых N тейл.членов расходится). Далее, экстремали от каждого члена тейл.разложения будут разными, и тем более не совп. с экстремалью интеграла с искомым интеграндом.

vovatroff

Да ну ошибся человек, не ищет он вариационную производную
от неградиента по градиенту... Он потом написал функционал,
который надо проварьировать. Функционал вполне так ничего.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: