Взятие предела от интеграла функции

tramway5

Извиняюсь за тупняк, сижу смотрю с недосыпа на интеграл от функции двух переменных, содержащей к тому же параметры, по одному из которых я от результата интегрирования хочу взять предел. Интеграл аналитическим выражением не даётся ни после попыток посчитать руками, ни программами. Поскольку предел беру по параметру, могу я сначала взять предел потом интегрировать?
Спасибо.

Vlad128

При определенных условиях да. См. программу второго курса матана про интегралы, зависящие от параметра. Вроде треба равномерная сходимость подынтегральной функции, хотя могу врать и это слишком жирно.

Vlad128

Не, наврал я, там требуется непрерывность подынтегральной функции по совокупности переменных.

tramway5

Спасибо )

Vlad128

Хотя может и не наврал, ведь из непрерывности по паре параметров следует равномерная сходимость f(x,y) -> f(x,y_0) при y -> y_0? Наверное, просто лоховская книга сейчас под рукой.

lenmas

Зря ты ему посоветовал, там небось нетривиальная асимптотика. Бить же будут тебя за неправильный ответ :)
Особые интегралы Коши помнишь?

Vlad128

Особые интегралы Коши помнишь?
вроде этого нам не задавали. А что это?

lenmas

Хотя может и не наврал, ведь из непрерывности по паре параметров следует равномерная сходимость f(x,y) -> f(x,y_0) при y -> y_0? Наверное, просто лоховская книга сейчас под рукой.
Да, там в процессе доказательства это используется.

lenmas

вроде этого нам не задавали. А что это?
Ну это что интеграл Коши имеет предел с одной стороны от кривой один, с другой стороны другой, а особый интеграл (это если сразу устремить) равен среднему арифметическому этих значений (и обычно они все разные).

Vlad128

Я не понял, причем тут асимптотика :(

lenmas

Я не понял, причем тут асимптотика :(
Ну так предел --- это и есть асимптотика. Предельные значения по кривым (в комплексном анализе) так и называются асимптотическими :)

Vlad128

а, я типа понял, что параметр сходится к какой-то точке, интеграл от него — к какому-то числу, причем интеграл я понял, что обычный римановский и вопрос в перестановке, причем тут кривая, хз. И да, интеграл Коши — это что? Это из ТФКП? Причем оно тут?

lenmas

а, я типа понял, что параметр сходится к какой-то точке, интеграл от него — к какому-то числу, причем интеграл я понял, что обычный римановский и вопрос в перестановке, причем тут кривая, хз.
Да, ты прав, тут параметр одномерный, поэтому этого тут так не видно, только в случае комплексных параметров это больше заметно.

Vlad128

Ну если равномерная сходимость есть, то не пофиг ли, какой параметр? Там раз уж есть равномерная сходимость, то если параметр из eps-окрестности предельного, то подынтегральная функция по норме слабо отличается от предельной. Может ты с чем-то путаешь все-таки? Или приведи пример, а то что-то теперь я туплю :)

lenmas

Не, ну конечно примеры, которые я тебе могу привести --- сингулярные интегралы, естественно, неравномерно сходящиеся. В жизни матановских, равномерной сходящихся интегралов не встречается.
Тот пример, про который я тебе упоминал, это интеграл типа Коши
[math]  $$  F(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x+iy}\,dx  $$  [/math]
Он, когда y\to0+, стремится к одному пределу (знаешь, наверное, в обобщенных функциях обозначение 1/(x+i0 когда
y\to0-, к другому (обозначается 1/(x-i0 а если сначала y устремить к нулю, а потом посчитать интеграл в смысле главного
значения, то получится v.p.1/x, причем связаны они соотношением 1/2(1/(x+i0)+1/(x-i0=v.p.1/x.
Можешь взять в качестве phi(x) какую-нибудь простую функцию, например, тождественную единицу, и проверить.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: