Невозможность ввести норму

philvoznes

Помогите с доказательством утверждения (хотя бы идею):
В линейном пространстве V = { (x1,...,xn,...) } - всевозможных числовых последовательностей невозможно никаким образом ввести норму.
Ну или если можно, в чем я очень сомневаюсь, то привести пример такой нормы.

dunkel68

*могу ошибаться, но
[math]  $ ||x|| = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{2^n} \cdot \frac{|x_n|}{1+|x_n|} $  [/math]
не что-то около того, что надо?
(если не прав, не бейте палками, я просто что-то всплывшее из памяти написал)

lena1978

что-то скаляр не выносится, а на метрику похоже

philvoznes

угу(

Nefertyty

а если взять базис гамеля?

svetik5623190

В линейном пространстве V = { (x1,...,xn,...) } - всевозможных числовых последовательностей невозможно никаким образом ввести норму.
Фигня, конечно же :)
Как правильно говорит гф, рассмотрим два базиса Гамеля: в V и ещё каком-нибудь другом бесконечномерном линейном нормированном пространстве L с базисом Гамеля той же можности, что и у V. Пусть T: V -> L - линейный изоморфизм линейных пространств, построенный с помощью этих двух базисов Гамеля, и пусть | | - норма в L. Тогда для любого x из V определено число f(x)=|Tx|. Сдаётся мне, что f будет нормой на V.
Не прогнался я нигде?

narkom

а это будет счетное множество (чет я совсем отупел , сорри). Ведь тогда просто норму l-n можно взять?

svetik5623190

Да любую бери, хоть l2.
Более того, на V можно ввести топологию, с которой V будет гомеоморфно любому конечномерному многообразию :grin: Просто потому, что мощности совпадают, а значит - есть биекция ;)

narkom

ты говоришь на непонятном мне языке, о мехматянин :grin:
мой вопрос: почему нельзя просто определить любую l-n на V?

svetik5623190

мой вопрос: почему нельзя просто определить любую l-n на V?
Потому что такая норма - это некий ряд, а он же будет расходиться для некоторых элементов из V. Норма же должна быть всюду определённой функцией.

narkom

ну если ряд расходится, то норма равна бесконечности. Или так не выйдет? То есть, например:
[math]\begin{equation*} \|x\| = \left(\sum_i \|x_i\|_{l_n}^n\right)^{1/n}\end{equation*}[/math]

svetik5623190

ну если ряд расходится, то норма равна бесконечности.
Не, норма - это же длина вектора. Она не может быть равна бесконечности по определению. Норма - это вещественная функция, всюду определённая на линейном пространстве.

svetik5623190

То есть, например:
Эту формулу я вообще не понял. У тебя что-то там под знаком суммирования непонятное стоит.

narkom

а блин, все догнал :grin: азы быстро забываются смотрю :(

Nefertyty

Если взять базис Гамеля, то для любого вектора лишь конечное число коэффициентов будет отлично от нуля, можно тупо взять максимум из их модулей или типа того.
Хотя ты вроде то же самое написал, только сложно очень, с буквами и стрелками.

svetik5623190

Ничего, бывает.
Можешь теперь оказать мне ответную услугу. Прочитай мои посты в этой теме и проверь, не пропизделся ли я где-либо.

narkom

ну норма каждого элемента в l_n. Все понял я в чем проблема.

philvoznes

Рассмотрим два базиса Гамеля: в V и ещё каком-нибудь другом бесконечномерном линейном нормированном пространстве L с базисом Гамеля той же можности, что и у V. Пусть T: V -> L - линейный изоморфизм линейных пространств, построенный с помощью этих двух базисов Гамеля, и пусть | | - норма в L. Тогда для любого x из V определено число f(x)=|Tx|. Сдаётся мне, что f будет нормой на V.
Хм.. вроде все четко)
Спасибо большое, завтра протестируем прокатит или нет :cool:

narkom

насколько я понимаю - нет :)

svetik5623190

Если взять базис Гамеля, то для любого вектора лишь конечное число коэффициентов будет отлично от нуля, можно тупо взять максимум из их модулей или типа того.
Красиво!

svetik5623190

Спасибо большое
Наздоровье. Можешь выразить мне благодарность постановкой плюсов и написанием креатива в блог холостяков.
завтра протестируем прокатит или нет
бери лучше идею гф, она круче.

philvoznes

Да так много можно придусать способов, я прост не знал про базис Гамеля:)
Плюсики завтра поставлю :grin:

philvoznes

И еще вопрос, почему обязательно найдется такое L?

svetik5623190

Вот чтобы не задаваться подобными вопросами, используй идею гф - она лучше!
гф =

goga7152

В линейном пространстве V = { (x1,...,xn,...) } - всевозможных числовыхпоследовательностей невозможно никаким образом ввести норму.
Я думаю, речь идет о _преднормированном_ пространстве (с покоординатной сходимостью). Тогда задача имеет смысл.

svetik5623190

Я так понял, что надо было просте ввести людую норму.
А то, что топология поточечной сходимости не задаётся нормой - это факт, да.

Nefertyty

почему более осмысленна, это разве не матан первый курс?

goga7152

это разве не матан первый курс?
я почему-то подумал про функан

Nefertyty

ну нужно всего лишь подобрать очень быстро растущую последовательность, тогда окажется, что вектор с этими координатами не может иметь конечную норму?

goga7152

ну нужно всего лишь подобрать очень быстро растущую последовательность,тогда окажется, что вектор с этими координатами не может иметь конечнуюнорму?
не вполне понял. Если полинормированное пространство преднормируемо, то семейство его преднорм эквивалентно конечному подсемейству. Но в нашем конкретном случае конечного эквивалентного семейства не существует: существует счетное семейство преднорм, в котором каждая последующая мажорирует предыдущую но не эквивалентна ей (взять [math]$$max \{ \|\, \|_1,\ldots , \|\, \|_n\}$$[/math],
где [math]$$ \| \, \|_k $$[/math] — модуль k-й "координаты" последовательности).

Nefertyty

ну не нужно же употреблять такие сложные слова, чтобы доказать, что никакая норма не задаёт топологию поточечной сходимости

philvoznes

Мой препод сказал что хочет более частное решение :D тип ему нужен базис гамеля, но как я понимаю хоть он и существует, но найти его нельзя(?) в нашем случае
И что, если взять норму как модуль первой ненулевой координаты в векторе, а если такой нет, то норма = 0 ?
пс оч хочу избавиться от линала летом :)

goga7152

И что, если взять норму как модуль первой ненулевой координаты в векторе, а если такой нет, то норма = 0 ?
Это не норма (проверьте неравенство треугольника).

philvoznes

ах да, спасиб, я думал там все хорошо)

zuenko

Верно следующее:
Пространство всех последовательностей, о котором идёт речь в треде, обычно рассматривают с топологией поточечной сходимости (тихоновской по-другому). Эту топологию действительно нельзя задать никакой нормой, и даже никакой метрикой. Иногда говорят, что на пространстве всех последовательностей нельзя ввести норму, но все понимают, что имеется ввиду пространство с естественной для него топологией.

lena1978

ага, категорность тихоновского произведения, первая лекция по линалу.

lenmas

и даже никакой метрикой
А как же
[math]  $$  \rho(\{x_n\},\{y_n\})=\sum_n\frac1{2^n}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}?  $$  [/math]

Anton1000000

й препод сказал что хочет более частное решение тип ему нужен базис гамеля, но как я понимаю хоть он и существует, но найти его нельзя(?) в нашем случае

что он понимает под более частным решением?
аксиома выбора ему не алгоритм? без нее никак
И что, если взять норму как модуль первой ненулевой координаты в векторе, а если такой нет, то норма = 0 ?
это не норма. если достаточно преднормы - тупо модуль первой координаты
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: