Задача по функану (матану?)

stm5539978-02

Есть функция f(x) непрерывная на прямой. Известно, что она принадлежит классу L_1(R т.е интеграл от ее модуля по всей прямой сходится. Рассмотрим ряд Sum |f(x+n)|, n - целое. Верно ли, что это ряд сходится почти всюду на прямой? Или, чего нужно еще потребовать от функции f, чтобы он сходился.

И еще просьба. Посоветуйте книгу, где можно подробнее почитать про свойства функций из L_1 (те это не КФ). Не хватает интуиции для работы с объектами от туда. Вот например, интересное свойство. Если f из L_1, то она восве не обязательно стремится к нулю на бесконечности, но зато существует последовательность a_n -> бесконечночти, такая, что f(a_n)-> 0

afony

Ответ: верно, и даже не нужна непрерывность. Действительно, \int_0^1 \Sum_n |f(x+n)| dx<\infty=> \Sum_n |f(x+n)| конечна п.в. по x.
По теории меры замечательные книжки: Сакс "Теория интеграла" (на elib есть по-английски, а так недавно переиздали, хоть и дорого В.И.Богачев "Теория меры" в 2-х томах. Говорят еще Дьяченко-Ульянов ничего книжка, но сам по ней не занимался.

stm5539978-02

Спасибо за исчерпывающий ответ!
А как называется теорема, согласно которой если \int_a^b f(x) dx < \infty , тофункция почти всюду конечна на отрезке [ab] ?

avgustinka

Боюсь опять ошибиться , но по-моему это просто вытекает из определения интеграла Лебега.

avgustinka

А ещё, не пояснишь, как такое:
Если f из L_1, то она восве не обязательно стремится к нулю на бесконечности
может быть?

stm5539978-02

Ну твоя функция (с пиками в целых точках) из L_1, но на бесконечности к нулю не стремится Определение интеграла Лебега - пробел в моем образовании (в свое время мне поставили экзамен автоматом, поэтому я совсем не знаю теории меры )

RZ3ARO

Может. Например - 0 кроме рац.точек. В них - например 1.

avgustinka

Чёрт, я чувствую, мне пора спать.

dimaxd

И еще просьба. Посоветуйте книгу, где можно подробнее почитать про свойства функций из L_1 (те это не КФ). Не хватает интуиции для работы с объектами от туда.

Есть замечательная книга по теории интеграла Лебега - Сакс С. "Теория интеграла". Но она достаточно редкая; например, в электронном виде в инете и электронных библиотеках я ее не смог найти...

stm5539978-02

Спасибо
ее в своем посте тоже посоветовал

afony

Например это следует из неравенства Чебышева.
2 и : Сакс на английском (и французском) есть как на elib.hackers, так и у меня
calculus\Saks S. Theory of the integral (Warszawa-Lwow, 1937LT171s).djvu

P.S. 2 Пожалуйста!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: