Посчитать преобразование Фурье

PaPik58

Обозначим через \Phi(x) функцию распределения стандартного нормального распределения. Чему равно такое преобразование Фурье:
\int \Phi(-|x|) e^{itx} dx.
Ну, интеграл, понятно, по всей действительной прямой.
Помогите, что-то не получается у меня.

griz_a

а по частям не выходит что ли? :confused:

mtk79

по виду, все считается, если менять местами инт-е по x и x' (которая есть переменная интеграла, представляющего Лапласа).

PaPik58

Сразу по частям нельзя, потому что там модуль недифференцируемый. Надо на два куска разбить. А что потом после одного раза по частям с комплексной экспонентой-то делать?
Там навернякак есть какие-нибудь хитрые способы подсчета такого интеграла, но в голову мне не приходит.

griz_a

Я пропустил очевидное преобразование со снятием модуля :) Можете считать что 2 интеграла от 0 до бесконечности от косинуса.
После одного раза по частям получается, представьте себе, преобразование фурье нормальной плотности с точностью до множителя. Которое равно [math]$e^{-t^2/2}$[/math].

PaPik58

Если проинтегрировать по частям, то получится два интеграла от нуля до бесконечности от sin(xt) exp(-x^2/2). И привести его к интегралу по всей прямой не получается, поэтому я не вижу, как выходит преобразование фурье нормальной плотности

mtk79

ну да, это табличный интеграл. Синус можно обратно в экспоненты преобразовать и получить опять же Лапласа от t

PaPik58

Верю, только нет у меня дома книжек по преобразованию Лапласа :)
И в википедии нет. Чему равно преобразование Лапласа от exp(-t^2/2) ?

griz_a

не, я все же не понял проблемы.
[math]$\int\limits_{R^+} e^{itx} e^{-x^2/2} dx = e^{-t^2/2} \int\limits_{R^+-it} e^{-z^2/2}dz=e^{-t^2/2}  \int\limits_{R^+} e^{-z^2/2}dz - \int\limits_{0}^{-it}e^{-z^2/2}dz = 1/2+i \int\limits_0^{t} e^{z^2/2} dz $[/math]

mtk79

и maple на компутере нет?

mtk79

ну, во-первых, скобка
во-вторых, Вы сами намекали товарищу на косинус и интеграцию по частям
а ответ-то, конечно, Лаплас от мнимого арг-а
кроме того, интеграл в последнем сообщении — это не вся правда

PaPik58

Я просто подзабыл, как поступают с интегралами у которых область интегрирования смещается с действительной прямой. Сейчас все ясно. Спасибо.
За преобразование Лапласа тоже спасибо, проверю, сойдутся ли результаты

PaPik58

С меплом как-то не спортивно Да и ставить надо

PaPik58

Кстати, с преобразованием Лапласа получается не очень хорошо, потому что п. Лапласа от exp(-x^2/2) включает в свою запись \Phi(x). А как брать эту функцию в чисто мнимой точке - еще большой вопрос

mtk79

никакого большого вопроса нет: это именно тот интеграл (с точностью до \sqrt{2\pi} или \sqrt{\pi/2} что написан последним в сообщении пользователя Frau Soboleva (вставьте в анал. продолжение общего определения ф-ии Лапласа мнимый арг. и проверьте)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: