Задача по теории чисел и терверу

klenal

Какова вероятность того, что 2 случайно выбранных числа от 1 до N окажутся взаимно простыми.
2. N=бесконечность.

stm7537641

Было:

a101

Мог бы просто ко мне зайти.

klenal

Всем спасибо, нарулил в поиске.
http://lorien.local/pub/docs/botva/TCH/chubarikov.ps

klenal

Вот еще задача чуваки:
2.Выбирается натуральное число. Найти вероятность того, что выбранное число начинается с единицы.
Задачу дал Чубариков с какой-то подъебкой. Вроде что-то загонял про то, что меньшее число человек выберет с большей вероятностью чем большое. Говорил что вероятность того что вы выберете число начинающееся с единицы больше, чем вероятность того, что вы выберете число начинающееся с двойки и так далее... Вот такая ботва. Еще загонял что экономист не сможет такую задачу решить, а математик сможет. Сведения весьма обрывочные =) Еще есть тема, что эта задача как-то связана с задачей 1. Типа трудно проверять большие числа на взаимную простоту, поэтому лучше маленькие взять...Пиздос.
Идеи?

stm7537641

Может у задачи другая формулировка -- типа как в 1) ?

filippov2005

Рассуждения в стиле, о чем думаю, о том пишу. Лень на листочке решать.
Так как в задаче не указана вероятностная модель, то нам самим придется ее выбрать.
Выберем вероятное пространство, состоящее из девяти элементарных событий.
i-ое событие - число начинается с цифры i
1 <= i <= 9
Выберем вероятностную меру таким образом, что каждому элементарному событию соответствует вероятность 1/9.
В этой вероятностной модели ответ на поставленную задачу, очевидно, 1/9
Если Чубарикову модель не понравится, то можно предложить какую-нибудь другую.
Например,
Вер. про-во - N (натуральные числа)
Вер-ая мера - для подмножества A = {a_1, ..., a_n,...}: P(A) = lim (#{a_i < M| a_i \in A} / M M -> \infinity
Тогда ответ тоже будет 1/9
Можно несколько изменить меру для условия
меньшее число человек выберет с большей вероятностью, чем большое
P(A) = \sum_(i = 1)^(\infimity) 1/(2^a_i)
Тогда P(первая цифра = 1) = 1/(2^11) + (1/2^12) + ... = (1/(2^10) + 1/(2^100) + ... ) * (1/2 + 1/(2^2) + 1/(2^9 = эх, блин трансцендетное число какое-то вылезло.
Надо какую-нибудь другую меру выбрать, чтобы считалось все попроще...

filippov2005

Задача по ТЧ - значит, надо чтобы в результате какой-нибудь ряд получился, который равен pi^2/6

a101

Думаю он имел ввиду, что экономист скажет 1/10, а не 1/9

klenal

Нет нет !
Выяснили, что он что-то загонял про "придумайте модель", так что похоже Ильнурис мыслит правильно. Итак. Нужно придумать подходящую вероятностную модель, чтобы получилось что меньшие числа выбирались более вероятно, чем большие. Или может быть еще так: вероятность того, что первая цифра 1 больше чем первая 2 и т.д. Т.е. может 113 более вероятно чем 78. Типа того.

a101

Потвторимся.
Смотреть

JuLsJuLs

Мне сложно определить, насколько то, чего я напишу, соотносится со словами Арнольда, но вдруг пригодится.
Рассмотри какой-нибудь справочник, выпущенный в, скажем, США (где обычно не используется метрическая система) и, скажем, во Франции (где обычно используется метрическая система). Предположение: доля чисел, начинающихся с цифры Ц, в обоих справочниках одна и та же (т.е. типа это свойство человеческого ума, а не данной системы измерений).
Первая цифра числа определятся так: число имеет первой цифрой Ц, если
logЦ<{log(число)}<log(Ц+1)
(log - десятичный логарифм)
Изменение системы измерений - это умножение на константу К.
Изобразим числа, встречающиеся в справочнике, точками на окружности. Числа на дуге длины log2-log1 имеют первой цифрой 1, на следующей за ней дуге длины log3-log2 - цифру 2 и т.д.
Независимость от системы измерений влечет инвариантность распределения относительно сдвигов на {logК} при любом К.
Это влечет (при "большом" чилсе величин в справочнике) равномерность распределения точек на окружности.
Тем самым, в силу равномерности, вероятность иметь первой цифрой Ц равна log(Ц+1)-logЦ.

klenal

Спасибо всем. Все это было очень полезно. Но самое прикольное, что этот тред читал Чубариков вместе со своим аспирантом и очень смеялся =). Потом слегка погнобил девушку, которая ему это сдавала: "Типа зачем же вы выложили это в сеть...". Я в шоке слегка. Будьте внимательнее, друзья =)

sfmike

Я даже при этом присутствовал Рядом сидел. Меня потом тоже немножко понагибали, и в результате я только сегодня сдал.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: